大部分工科专业在学习现行代数会使用同济大学的教材,这本教材在传授过程中,全程给人一种莫名奇妙的感觉,从头到尾都在爱灌输一些莫名其妙的计算规则,所以,你可能在期末考试中考了高分,但仍然不明白现性代数的概念到底在实际中意味着什么,直到工作后,当看到一些四层相似的规则在某个领域中应用的时候,你才会大呼相见恨晚,恨不得从头把线性代数在从头学一变.
对于具有n个不同特征值的线性变换矩阵A来说
设其特征值以及对应的特征向量分别为:
转换一下形式:
令P,V分别等于
则上式等价 于:
两边左乘以V的逆,
V是特征值为对角的对角矩阵,而P是由特征向量为列组成的方阵。V为A的相似矩阵,表征同一个线性变换,只是观察的角度有差异。
现在我们可以建立两个世界坐标,第一个坐标是标准的坐标系:
第二个坐标系是由矩阵的特征向量组成的坐标系P:
我们尝试分析一下,如果不断的施加线性变换A,同一个向量在如上两个坐标系中描述的坐标各是什么样子
设在P世界中的坐标为
由于线性变换是用E世界的矩阵A描述的,所以,如果需要对向量v施加A变换,必须将其首先转化为 E世界的坐标系坐标
根据转换关系:
对v(p)进行一次A变换,相当于对v(e)进行A变换,在转换为P世界的坐标,则
反向推导:
正向推导:
所以:
也就是经过m次的A变换后,E世界中的坐标已经面目全非,看不出任何规律,但是从P世界的角度看,向量的变换出奇的有规律,变换后的坐标全部是
的形式:
也就是
也就是经过m此A变换后,以P世界坐标轴描述的坐标沿每个坐标轴方向,长度伸长了对应特征值的
倍,其中i是对应P世界的某个坐标轴
所以,很明显,同一个线性变换,在E世界用很复杂的A来描述,但是在P世界,只要对角阵矩阵V即可描述。变换的特征一眼就能看出来。
以矩阵为例,
它的特征向量和特征值为:
特征向量是图中红色的部分:
我们将线性变换施加于坐标轴单位向量,得到下图,如图,经过线性变换A, 特征向量长度变为原来的3倍和5倍,方向不变。
经过两次线性变换:
特征向量再次扩大特征值的倍数。
对于任意向量,设其v世界坐标为(2,3),
转换到标准坐标系为
变换后呢
横纵坐标轴分别变为原来的5倍和3倍,正好是特征值。
现在我们换一个坐标系,看一下同样的线性变换,新的坐标系中的变换矩阵是什么样子
设新坐标系:
其中某点T在原坐标系的坐标为,(5.5,3.3)
经过线性变换后:
坐标变为
则新坐标轴下的线性变换可表示为:
测试等式成立,A`确实是新坐标系下的对等变换:
新的线性变换对应的特征向量和特征值为:
可见相似矩阵的特征值是相同的,但是特征向量明显不同,这是合理的,而且可以理论推导出,相似矩阵的特征向量之前满足简单的线性变换关系.
特征多项式相同,所以特征值一定相同:
特征向量不同,差着一个线性变换:
验证: ans归一化后得到的特征向量和A矩阵是相同的。
图形仿真的结果和理论推导完全吻合。
最后一个问题,上面已经得到结论,相似矩阵是同一个线性变换,只是在不同的坐标系下的观察角度不同,那么,如果已经知道两个矩阵是相似的(具有相同的特征值),那么有没有办法得到两个矩阵的坐标系呢?
例如:
A,B是相似矩阵,和 代表两个矩阵到对角矩阵的相似变换.
则存在P,使得:
P就应该是B变换对应的坐标系,应该是多少呢?
由:
得到:
所以
同理,从B的角度
octave 举例如下:
相似转移和直接转移。
所以,结论就是这个样子,根据相似矩阵,也可以算得两个坐标系之间的转换矩阵.
不得不说,简单的逻辑蕴含着深刻的对称性原理,数学就是抓住本质的工具, 线性代数是非常有用的一门学科,即便对于非理工科的同学,里面的线性变换,矩阵,特征根,特征向量的概念对于塑造我们的世界观也有很大作用,可是呢,我们的线代教育上来就先介绍行列式,然后就是灌输一些毫无道理的规则,这对于喜欢对问题追根究底的同学是种折磨。