我的猜想 题解
【问题描述】
1742年,德国数学家哥德巴赫(Goldbach)提出了著名的哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture):任何一个不小于4的偶数可以表示为两个素数之和。这个猜想至今都没有完全被证明是正确的。
但是,对于一个大于或等于5的奇数,有的可以表示成两个素数之和,有的则不能。给定一个大于或等于5的奇数,判断是否能分解成两个素数之和。
【输入形式】
输入中包含多个测试数据,每个测试数据占一行,为一个正整数m,m为奇数,且不小于5,不大于32767。
【输出形式】
对每个测试数据,如果m能分解成两个素数之和,输出yes,否则输出no。
【样例输入】
21
75
99
113
【样例输出】
yes
yes
yes
no
题意很简单,就是判断一个数能不能拆分成两个素数。
输入类型属于一直输入到文件尾,所以用while(cin>>n)的方法进行输入。
先看暴力算法,时间复杂度O(n^3)
(一看这复杂度就知道要GG)
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
bool judge(int x)//判断是否为素数
{
if(x==2)return true;
for(int i=2;i<x;i++)
{
if(x%i==0)return false;
}
return true;
}
bool check(int a)
{
for(int i=2;i<a/2;i++)//枚举每一种组合
{
if(judge(i)&&judge(a-i))return true;//只要有一种组合成立,命题成立
}
return false;
}
int main()
{
while(cin>>n)
{
if(check(n))cout<<"yes"<<endl;
else cout<<"no"<<endl;
}
}
显然,暴力是不给让过的(好歹是一道算法题,不会给你打暴力的机会的)
所以要请同学们收起上学期一言不合就打暴力的思维方式。
优化1 数论知识
数学蒟蒻就不好意思来balabala证明什么了,就直接抛结论:
如果将一个奇数分为2和另一个数,如果这两个数都为素数,那么这个数可以被分为两个素数之合,反之不能
说白了就是只判断n-2是不是素数
用这个方式可以省去一层循环,复杂度优化到O(n^2)
#include<iostream>
using namespace std;
int n;
bool judge(int x)//判断是否为素数
{
if(x==2)return true;
for(int i=2;i<x;i++)
{
if(x%i==0)return false;
}
return true;
}
bool check(int a)
{
if(judge(2)&&judge(a-2))return true;//只要有一种组合成立,命题成立
return false;
}
int main()
{
while(cin>>n)
{
if(check(n))cout<<"yes"<<endl;
else cout<<"no"<<endl;
}
}
优化一层循环后就成功挤进1s内了
那么问题来了,能不能再优化一点呢?
优化2 筛质数+打表
先解释一下打表,打表是一类算法的统称,大致为在程序正式运行前将一些数据提前算出来,比如这道题,测试数据最大值仅有32767,我们就可以将32800之前的所有素数先算出来。
其次是筛质数,这是这道题的一种打表方式。如果用常规判断质素的方式,可能表还没打完程序就被切了。
筛质数就是枚举某数的倍数,将除了1之外所有数的倍数筛掉,剩下的就全是质数了。
比如,计算1到20的质数
筛掉2的倍数 4,6,8,10,12,14,16,18,20
筛掉3的倍数 6,9,12,15,18
筛掉5的倍数10, 15
筛掉7的倍数 7,14
。。。。。。。。。。
筛到最后就只剩下 1(舍去),2,3,5,7,11,13,17,19.
这样就能算出素数。
如果不怕麻烦的话甚至可以把这些素数写进代码,这才是真正的打表
时间复杂度O(n)
芜湖起飞
#include<iostream>
using namespace std;
int m;
const int N=32800;
int a[N];
void build()//算素数
{
for(int i=2;i<N/2;i++)
{
if(!a[i])
for(int j=2;j*i<N;j++)
{
a[j*i]=1;
}
}
}
bool check(int x)
{
if(!a[x-2])return true;
return false;
}
int main()
{
build();
while((scanf("%d",&m))!=EOF)
{
if(check(m))printf("yes\n");
else printf("no\n");
}
}