多分辨分析:闭的线性子空间的序列,选定的尺度函数
( { V j , j ∈ Z } , Φ ( t ) ) i n L 2 ( r ) (\{V_j,j\in Z \},Φ(t)) in L^2(r) ({
Vj,j∈Z},Φ(t))inL2(r)
A:尺度方程的时域形式
Φ ( t ) = 2 ∑ n h n Φ ( 2 t − n ) , 系 数 h n = < Φ ( t ) , 2 h n Φ ( 2 t − n ) > , n ∈ Z Φ(t)=\sqrt[]{2}\sum_n h_nΦ(2t-n),系数h_n=<Φ(t),\sqrt[]{2} h_nΦ(2t-n)>,n\in Z Φ(t)=2∑nhnΦ(2t−n),系数hn=<Φ(t),2hnΦ(2t−n)>,n∈Z
{ h n } ∈ l 2 ( Z ) 系 数 序 列 是 固 定 的 点 \{ h_n\} \in l^2(Z)系数序列是固定的点 {
hn}∈l2(Z)系数序列是固定的点
频域形式:
Φ ^ ( w ) = H ( w 2 ) Φ ^ ( w 2 ) , 其 中 低 通 滤 波 器 的 脉 冲 相 应 序 列 H ( w ) = 1 2 ∑ n h n e − i w n \hatΦ(w)=H(\frac{w}{2})\hatΦ(\frac{w}{2}),其中低通滤波器的脉冲相应序列H(w)=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n h_ne^{-iwn} Φ^(w)=H(2w)Φ^(2w),其中低通滤波器的脉冲相应序列H(w)=21∑nhne−iwn
Φ ( t ) 是 尺 度 函 数 , 其 整 数 平 移 构 成 V 0 的 标 准 正 交 基 , 要 求 H ( w ) 是 共 轭 滤 波 器 Φ(t)是尺度函数,其整数平移构成V_0的标准正交基,要求H(w)是共轭滤波器 Φ(t)是尺度函数,其整数平移构成V0的标准正交基,要求H(w)是共轭滤波器
∣ H ( w ) ∣ 2 + ∣ H ( w + π ) ∣ 2 = 1 |H(w)|^2+|H(w+\pi)|^2=1 ∣H(w)∣2+∣H(w+π)∣2=1
由此要求,hn应该满足什么性质呢?
https://blog.csdn.net/hedoubibi/article/details/107031279
∣ H ( w ) ∣ 2 = ( 1 2 ∑ n h n e − i w n ) ( 1 2 ∑ n 1 h ˉ n e + i w n 1 ) 两 个 级 数 相 乘 1 2 ∑ n ∑ n 1 h n h n 1 ˉ e − i ( n − n 1 ) w , 记 n − n 1 = k , k ∈ Z 1 2 ∑ k ∑ n h n h n − k ˉ e − i k w |H(w)|^2=(\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n h_ne^{-iwn})(\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_{n_1} \bar h_ne^{+iwn_1})两个级数相乘\\ \frac{1}{2}\sum_n\sum_{n_1h_n \bar {h_{n1}} }e^{-i(n-n1)w},记n-n1=k,k\in Z\\ \frac{1}{2}\sum_k\sum_{n h_n \bar {h_{n-k}} }e^{-ikw} ∣H(w)∣2=(21∑nhne−iwn)(21∑n1hˉne+iwn1)两个级数相乘21∑n∑n1hnhn1ˉe−i(n−n1)w,记n−n1=k,k∈Z21∑k∑nhnhn−kˉe−ikw
则 ∣ H ( w ) ∣ 2 + ∣ H ( w + π ) ∣ 2 则|H(w)|^2+|H(w+\pi)|^2 则∣H(w)∣2+∣H(w+π)∣2
k 是 奇 数 单 项 为 零 , k 是 偶 数 , l ∈ Z : ∑ k = 2 l ( ∑ n h n h n − 2 l ˉ ) e − i 2 l w k是奇数单项为零,k是偶数,l\in Z:\sum_{k=2l}(\sum_{n}{ h_n \bar {h_{n-2l}}) }e^{-i2lw} k是奇数单项为零,k是偶数,l∈Z:∑k=2l(∑nhnhn−2lˉ)e−i2lw
( ∑ n h n h n − 2 l ˉ ) = { 1 L是0 0 L不是0 (\sum_{n}{ h_n \bar {h_{n-2l}}) }= \begin{cases} 1& \text{L是0}\\ 0& \text{L不是0} \end{cases} (∑nhnhn−2lˉ)={
10L是0L不是0
即 h n 是 单 位 向 量 即hn是单位向量 即hn是单位向量
且
{ h n , n ∈ Z } 垂 直 { h n − 2 l , n ∈ Z } , l ≠ 0 \{h_n,n\in Z \}垂直 \{h_{n-2l},n\in Z\},l \neq 0 {
hn,n∈Z}垂直{
hn−2l,n∈Z},l=0
问以上能构成l^2的正交基吗?
B:小波方程
Ψ ( t ) = 2 ∑ n g n Φ ( 2 t − n ) , 系 数 h n = < Ψ ( t ) , 2 Φ ( 2 t − n ) > , n ∈ Z Ψ(t)=\sqrt[]{2}\sum_n g_nΦ(2t-n),系数h_n=<Ψ(t),\sqrt[]{2}Φ(2t-n)>,n\in Z Ψ(t)=2∑ngnΦ(2t−n),系数hn=<Ψ(t),2Φ(2t−n)>,n∈Z
{ g n } ∈ l 2 ( Z ) 系 数 序 列 是 固 定 的 点 \{ g_n\} \in l^2(Z)系数序列是固定的点 {
gn}∈l2(Z)系数序列是固定的点
频域形式:
Ψ ^ ( w ) = G ( w 2 ) Φ ^ ( w 2 ) , 其 中 带 通 滤 波 器 的 脉 冲 相 应 序 列 H ( w ) = 1 2 ∑ n g n e − i w n \hatΨ(w)=G(\frac{w}{2})\hatΦ(\frac{w}{2}),其中带通滤波器的脉冲相应序列H(w)=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\sum_n g_ne^{-iwn} Ψ^(w)=G(2w)Φ^(2w),其中带通滤波器的脉冲相应序列H(w)=21∑ngne−iwn
( H ( w ) , G ( w ) ) 是 正 交 共 轭 滤 波 器 组 (H(w),G(w))是正交共轭滤波器组 (H(w),G(w))是正交共轭滤波器组
Ψ(t)是正交小波的时候
∣ G ( w ) ∣ 2 + ∣ G ( w + π ) ∣ 2 = 1 |G(w)|^2+|G(w+\pi)|^2=1 ∣G(w)∣2+∣G(w+π)∣2=1
同理:
即 g n 是 单 位 向 量 即gn是单位向量 即gn是单位向量
{ g n , n ∈ Z } 垂 直 { g n − 2 l , n ∈ Z } , l ≠ 0 \{g_n,n\in Z \}垂直 \{g_{n-2l},n\in Z\},l \neq 0 {
gn,n∈Z}垂直{
gn−2l,n∈Z},l=0
C:以上两个合起来构成O.N.B
{ Φ ( t − n ) } , { Ψ ( t − n 1 ) } 两 个 序 列 相 互 正 交 \{Φ(t-n)\},\{Ψ(t-n1)\}两个序列相互正交 {
Φ(t−n)},{
Ψ(t−n1)}两个序列相互正交
或
V 0 正 交 W 0 V_0 正交 W_0 V0正交W0
或
H ( w ) G ˉ ( w ) + H ( w + π ) G ˉ ( w + π ) = 1 H(w) \bar G(w)+H(w+\pi) \bar G(w+\pi)=1 H(w)Gˉ(w)+H(w+π)Gˉ(w+π)=1
D:子空间的分解关系理解
V j + 1 = V j ⊕ W j V_{j+1}=V_{j} \oplus W_{j} Vj+1=Vj⊕Wj
D:子空间的基之间的关系理解
V j + 1 : { Φ j + 1 , m , m ∈ Z } = V j : { Φ j , k , k ∈ Z } ⊕ W j : { Ψ j , m , k ∈ Z } V_{j+1}:\{ Φ_{j+1,m} ,m\in Z\} \\ =\\ V_{j}:\{ Φ_{j,k} ,k\in Z\} \\ \oplus \\ W_{j}:\{ Ψ_{j,m} ,k\in Z\} Vj+1:{
Φj+1,m,m∈Z}=Vj:{
Φj,k,k∈Z}⊕Wj:{
Ψj,m,k∈Z}
使 用 V j + 1 中 的 基 表 示 V j 和 W j 中 的 基 的 方 程 分 别 为 : 尺 度 方 程 , 小 波 方 程 使用V_{j+1}中的基表示V_j和W_j中的基的方程分别为:尺度方程,小波方程 使用Vj+1中的基表示Vj和Wj中的基的方程分别为:尺度方程,小波方程
尺 度 方 程 : Φ ( t ) = 2 ∑ n h n Φ ( 2 t − n ) 形 式 转 换 t − > 2 j t Φ ( t − k ) = 2 ∑ n h n Φ ( 2 t − ( n + 2 k ) ) − > Φ ( t − k ) = 2 ∑ m h m − 2 k Φ ( 2 t − m ) 2 j 2 Φ ( 2 j t − k ) = 2 ∑ m h m − 2 k ∗ 2 j 2 ∗ Φ ( 2 j + 1 t − m ) = ∑ m h m − 2 k ∗ 2 j + 1 2 ∗ Φ ( 2 j + 1 t − m ) 写 成 记 号 Φ j , k ( t ) = ∑ m h m − 2 k Φ j + 1 , m ( t ) 尺度方程:Φ(t)=\sqrt{2}\sum_n h_nΦ(2t-n)\\ 形式转换\\ t->2^jt\\ Φ(t-k)=\sqrt{2}\sum_n h_nΦ(2t-(n+2k))->Φ(t-k)=\sqrt{2}\sum_m h_{m-2k}Φ(2t-m)\\ 2^{\frac{j}{2}}Φ(2^jt-k)=\sqrt{2}\sum_m h_{m-2k}*2^{\frac{j}{2}}*Φ(2^{j+1}t-m)=\sum_m h_{m-2k}*2^{\frac{j+1}{2}}*Φ(2^{j+1}t-m)\\ 写成记号\\ Φ_{j,k}(t)= \sum_m h_{m-2k}Φ_{j+1,m}(t) 尺度方程:Φ(t)=2n∑hnΦ(2t−n)形式转换t−>2jtΦ(t−k)=2n∑hnΦ(2t−(n+2k))−>Φ(t−k)=2m∑hm−2kΦ(2t−m)22jΦ(2jt−k)=2m∑hm−2k∗22j∗Φ(2j+1t−m)=m∑hm−2k∗22j+1∗Φ(2j+1t−m)写成记号Φj,k(t)=m∑hm−2kΦj+1,m(t)
同 理 : Ψ j , k ( t ) = ∑ m g m − 2 k Ψ j + 1 , m ( t ) 同理:Ψ_{j,k}(t)= \sum_m g_{m-2k}Ψ_{j+1,m}(t) 同理:Ψj,k(t)=m∑gm−2kΨj+1,m(t)
D:子空间的向量与基的坐标变换之间的关系理解
F:信号之间的关系
∀ f ( t ) ∈ L 2 ( R ) 在 V j 中 的 正 交 投 影 为 f j ( t ) V j + 1 − f j + 1 ( t ) , V j − f j ( t ) 则 f j + 1 ( t ) = f j ( t ) + g j ( t ) , 余 向 量 g j ( t ) 在 W j 空 间 中 \forall f(t)\in L^2(R)在V_j中的正交投影为f_j(t)\\ V_{j+1} -f_{j+1}(t),V_{j} -f_{j}(t)\\ 则f_{j+1}(t)=f_j(t)+g_j(t),余向量g_j(t)在W_j空间中\\ ∀f(t)∈L2(R)在Vj中的正交投影为fj(t)Vj+1−fj+1(t),Vj−fj(t)则fj+1(t)=fj(t)+gj(t),余向量gj(t)在Wj空间中
由上得到分解算法和合成算法的公式
正交小波分解算法
向 量 的 表 示 : f j + 1 ( t ) = ∑ n a j + 1 , n Φ j + 1 , n ( t ) f j ( t ) = ∑ n a j , m Ψ j , m ( t ) g j ( t ) = ∑ n d j , m Ψ j , m ( t ) 分 解 的 坐 标 关 系 : 向量的表示:\\ f_{j+1}(t)=\sum_n a_{j+1,n}Φ_{j+1,n}(t)\\ f_{j}(t)=\sum_n a_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ g_{j}(t)=\sum_n d_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ 分解的坐标关系:\\ 向量的表示:fj+1(t)=n∑aj+1,nΦj+1,n(t)fj(t)=n∑aj,mΨj,m(t)gj(t)=n∑dj,mΨj,m(t)分解的坐标关系:
分解关系:由a_j+1计算a_j和d_j
由上边的坐标关系出发
f j + 1 ( t ) = f j ( t ) + g j ( t ) ∑ n a j + 1 , n Φ j + 1 , n ( t ) = ∑ n a j , m Ψ j , m ( t ) + ∑ n d j , m Ψ j , m ( t ) f_{j+1}(t)=f_{j}(t)+g_{j}(t)\\ \sum_n a_{j+1,n}Φ_{j+1,n}(t)= \sum_n a_{j,m}Ψ_{j,m}(t)+\sum_n d_{j,m}Ψ_{j,m}(t)\\ fj+1(t)=fj(t)+gj(t)n∑aj+1,nΦj+1,n(t)=n∑aj,mΨj,m(t)+n∑dj,mΨj,m(t)
过 程 : 1. 方 程 两 边 同 乘 Φ ˉ j , m 1 ( t ) d t 后 积 分 2. a j , m 1 = ∑ n a j + 1 , n ∫ − ∞ + ∞ Φ j + 1 , n ( t ) Φ ˉ j , m 1 ( t ) d t {\boxed{ 过程:\\ 1.方程两边同乘\barΦ_{j,m_1}(t)dt后积分\\ 2.a_{j,m_1}=\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty} Φ_{j+1,n}(t)\barΦ_{j,m_1}(t)dt\\ }} 过程:1.方程两边同乘Φˉj,m1(t)dt后积分2.aj,m1=n∑aj+1,n∫−∞+∞Φj+1,n(t)Φˉj,m1(t)dt
= ∑ n a j + 1 , n ∫ − ∞ + ∞ 2 j + 1 2 Φ ( 2 j + 1 t − n ) 2 j 2 Φ ˉ ( 2 j t − m 1 ) d t = 换 元 后 对 2 Φ ( 2 t − n ) Φ ( t − m 1 ) 的 积 分 {\boxed{ =\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty} 2^{\frac{j+1}{2}}Φ(2^{j+1}t-n)2^{\frac{j}{2}} \barΦ(2^jt-m_1)dt\\=换元后对\sqrt{2}Φ(2t-n)Φ(t-m_1)的积分 }} =n∑aj+1,n∫−∞+∞22j+1Φ(2j+1t−n)22jΦˉ(2jt−m1)dt=换元后对2Φ(2t−n)Φ(t−m1)的积分
令 t 1 = t − m 1 , 对 2 Φ ( 2 t 1 − ( n − 2 m 1 ) ) Φ ˉ ( t 1 ) d t 1 的 积 分 {\boxed{ 令t_1=t-m_1,对\sqrt{2}Φ(2t_1-(n-2m_1))\barΦ(t_1)dt_1的积分 }} 令t1=t−m1,对2Φ(2t1−(n−2m1))Φˉ(t1)dt1的积分
∑ n a j + 1 , n ∫ − ∞ + ∞ 2 Φ ( 2 t 1 − ( n − 2 m 1 ) ) Φ ˉ ( t 1 ) d t 1 = ∑ n a j + 1 , n ∫ − ∞ + ∞ 2 Φ ˉ ( 2 t 1 − ( n − 2 m 1 ) ) Φ ( t 1 ) d t 1 ˉ 注 意 复 共 轭 {\boxed{ \sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{2}Φ(2t_1-(n-2m_1))\barΦ(t_1)dt_1= \bar{\sum_n a_{j+1,n}\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{2}\barΦ(2t_1-(n-2m_1))Φ(t_1)dt_1}注意复共轭 }} n∑aj+1,n∫−∞+∞2Φ(2t1−(n−2m1))Φˉ(t1)dt1=n∑aj+1,n∫−∞+∞2Φˉ(2t1−(n−2m1))Φ(t1)dt1ˉ注意复共轭
则 a j , m 1 = ∑ n h ˉ n − 2 m 1 a j + 1 , n {\boxed{ 则 a_{j,m_1}=\sum_n \bar h_{n-2m_1} a_{j+1,n} }} 则aj,m1=n∑hˉn−2m1aj+1,n
a j , m = ∑ n h ˉ n − 2 m a j + 1 , n , m ∈ Z 将 m 1 推 广 到 所 有 的 整 数 {\boxed{ a_{j,m}=\sum_n \bar h_{n-2m} a_{j+1,n},m\in Z将m_1推广到所有的整数 }} aj,m=n∑hˉn−2maj+1,n,m∈Z将m1推广到所有的整数
− 显 然 可 得 − {\boxed{ -显然可得-}} −显然可得−
d j , m = ∑ n g ˉ n − 2 m a j + 1 , n , m ∈ Z 写 点 什 么 好 对 其 进 行 比 较 {\boxed{ d_{j,m}=\sum_n \bar g_{n-2m} a_{j+1,n},m\in Z写点什么好对其进行比较 }} dj,m=n∑gˉn−2maj+1,n,m∈Z写点什么好对其进行比较
合成关系:是分解关系的逆
直接写出来:
a j + 1 , n = ∑ m h n − 2 m a j , m + ∑ m g n − 2 m d j , m , n ∈ Z {\boxed{ a_{j+1,n}=\sum_m h_{n-2m} a_{j,m}+\sum_m g_{n-2m} d_{j,m},n\in Z }} aj+1,n=m∑hn−2maj,m+m∑gn−2mdj,m,n∈Z
正交性
1.原空间的标准正交基到新的标准正交基的变换是正交变换
2. ( a j + 1 ) − > ( a j , d j ) , ( a j + 1 ) 在 l 2 ( Z ) 空 间 中 看 是 平 凡 基 , 而 l 2 ( Z ) 空 间 的 另 一 组 基 { { g n − 2 l } , { h n − 2 l } } , n , l ∈ Z 下 的 表 达 记 为 ( a j , d j ) (a_j+1)->(a_j,d_j),(a_j+1)在l^2(Z)空间中看是平凡基,而l^2(Z)空间的另一组基\{ \{ g_{n-2l}\},\{ h_{n-2l}\}\},n,l\in Z下的表达记为(a_j,d_j) (aj+1)−>(aj,dj),(aj+1)在l2(Z)空间中看是平凡基,而l2(Z)空间的另一组基{
{
gn−2l},{
hn−2l}},n,l∈Z下的表达记为(aj,dj)
注:
1.
有 些 文 献 中 , Φ j , m ( t ) 的 表 达 方 式 为 2 − j 2 Φ ( 2 − j t − m ) , Φ j , m ( t ) = 2 − j 2 Φ ( 2 − j t − m ) , 这 时 V j + 1 ⊂ V j 有些文献中,Φ_{j,m}(t)的表达方式为 2^{-\frac{j}{2}} Φ(2^{-j}t-m),Φ_{j,m}(t)= 2^{-\frac{j}{2}} Φ(2^{-j}t-m),这时V_{j+1} \subset V_j 有些文献中,Φj,m(t)的表达方式为2−2jΦ(2−jt−m),Φj,m(t)=2−2jΦ(2−jt−m),这时Vj+1⊂Vj