第三章考题
- 求极限
- 函数的极值和最值，曲线的凹凸性及其拐点
- 曲线的渐近线
- 方程的根
- 不等式的证明
- 中值定理的证明题
微分中值定理
定理1：费马引理：
如果函数在一点可导，并且在该点取得极值，则导数为0
根据图像比较容易得出结论
定理2：罗尔定理：
如果函数在闭区间连续，开区间可导
两端点值相等，则可以证明至少存在一点导数为0
证明：
方法一，几何明显
方法二，一定存在最小值m,最大值M
- m==M，则可以证明导数处处为0
- m < M，又根据两端点值相等，则至少有一个值是在区间内部，且为极值点，所以可以证明导数为0
定理3：拉格朗日中值定理：
上述条件下，一定存在一点导数值等于两点连线的斜率
定理4：柯西中值定理
存在两个函数满足上述条件，则一定存在一点的两个函数的导数值为两点函数的差值
证明：可以将y,x当做对t的参数方程，按照拉格朗日进行求导
三个微分中值定理
- 意义：建立函数和导数之间的关系
- 罗尔定理是拉格朗日定理的特例，拉格朗日是柯西中值定理的特例
- 但后面两个都是罗尔定理构建辅助函数得出的结论，罗尔定理反而是重点
泰勒公式
泰勒公式意义
- 建立函数和高阶导数的连接
- 把函数用多项式逼近
两种余项的泰勒公式
皮亚诺余项
拉格朗日余项
区别：
-
条件不同，皮亚诺余项要求n阶可导，拉格朗日余项要求n+1阶可导
-
关于余项不同，皮亚诺余项的余项只能保证在x趋向x0的时候，与x0的差值n次方会是无穷小
拉格朗日余项则是存在一点介于x和x0之间在展开之间（中值定理）
-
皮亚诺余项是要求局部形态，适用于极限，极值
拉格朗日余项要求整体形态，用于求最值，不等式
常用五个泰勒公式
导数的应用
-
单调性：
根据导数的正负性就可以判断区间内导数的增减性
-
函数的极值：
在局部形态下，如果邻域内恒有大于或者小于该点值，则说明在该点取得极值
定理8：极值的必要条件
如果可导，取得极值，则导数为0
将所有导数为0的点称作驻点
因为是必要条件，所以驻点不一定是极值；但对于可导函数而言，极值一定是驻点
所以极值的取值范围，只可能是驻点or导数不存在的点
因为驻点是极值是必要条件所以
定理9：极值的第一充分条件（可判断第一种或者第二种可能的极值）
如果该点邻域可导，在该点两边一阶导数变号，且该点可导或者不可导但连续；
则该点为极值点
定理10：极值的第二充分条件（只能判断第一种，且要求二阶导存在）
驻点的二阶导数不为0，则一定是极值点
如果二阶<0为极大值
如果二阶>0为极小值
函数的最大最小值
找连续函数的最值
第一步：求出驻点和不可导点（可能的极值点）
第二步：然后比较他们和端点的函数值
如果极值点是唯一的，则如果是极大则为最大，如果极小，则为最小
如果是应用题，需要建立目标函数
曲线的凹凸性
二阶导数如果>0，则是凹的；如果<0，则是凸的
一阶导数判断函数的增减性，二阶导数判断函数的凹凸性
拐点：端点两端二阶导数变号，注意：拐点一定是曲线上的点，一定要用两个坐标去表示
极值点可以是x轴上的点,x=具体的数
如何判定是否是拐点
极值点一个必要两个充分对应
曲线的渐近线
1）水平渐近线：最多两条
2）垂直渐近线：可以有无穷多条，分母为0
3）斜渐近线：
函数作图
- 确定定义域
- 求一阶导数
- 求二阶导数
- 求渐近线
曲线的弧微分与曲率
曲率：K = |y’’|/(1+y’2)(3/2)
曲率半径：R = 1/K
基本题型
- 函数静态：研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点
- 求渐近线
- 求方程的根
- 不等式证明
- 中值定理以及证明题
一、研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点
极值只可能是导数为0或者导数不存在的点
如何判断：
- 左右导数是否变号
- 二阶导数是否!=0
导数不存在且为极值的条件是该点必须连续
有关分段函数在分界点上是否为拐点或取得极值，只需要要求函数连续，然后判断左右导数是否异号即可
二、渐近线
斜渐近线需要将函数写成ax+b+O(x)的形式，后面趋向于无穷小
三、方程的根
通常写成f(x) = 0，然后计算有多少个根
题型：
方程根的存在性：
- 零点函数定理，左右端点异号
- 罗尔定理，找到fx的原函数，带入左右端点都是0，然后求导可知fx存在一点取得0
根的个数：
- 单调性：这样就能确定只有一个
- 罗尔定理的推论：如果n阶导数不为0，最多有n个零点
四、不等式的证明
- 单调性：将所有式子移到一边，然后求导，得出FX恒大于0，可以求解
- 拉格朗日中值定理：通常用于两点之差的式子
- 最大最小值定理：最小值大于0
两个重要结论
sinx < x < tanx
x/(1+x) < In(1+x) < x
(采用中值定理证明)
五、中值定理的证明题
习题推导，如果在一段区域内n个值相等，可以证明至少存在n-1导数为0