前言
质量还可以
D.容斥(二项式反演)
题目大意:
给你 n n n个小球,每个小球有一个颜色 a i a_i ai.保证一种颜色最多出现两次。问你多少种排列方式使得相邻两项之间颜色不同.
n ≤ 1 e 5 n \leq 1e5 n≤1e5
题目思路:
发现颜色最多出现两次.我们可以容斥。将恰好转至少.
令 f ( i ) f(i) f(i)为恰好有 i i i项相邻的排列, g ( i ) g(i) g(i)为至少有 i i i项相邻的排列. c n t cnt cnt为有两个的颜色个数.
f ( 0 ) = ∑ i = 0 c n t ( − 1 ) i ∗ g ( i ) f(0)=\sum_{i=0}^{cnt}(-1)^i*g(i) f(0)=∑i=0cnt(−1)i∗g(i).
g ( i ) g(i) g(i)就比较好求了: g ( i ) = ( i c n t ) ∗ ( n − i ) ! ∗ 1 2 c n t − i g(i)=(^{cnt}_{\ \ i})*(n-i)!*\frac{1}{2^{cnt-i}} g(i)=( icnt)∗(n−i)!∗2cnt−i1
解释:
1.至少 i i i个相邻,那么就得先确定哪 i i i个颜色相邻.所以 ( i c n t ) (^{cnt}_{\ \ i}) ( icnt).
2.然后问题转化为:总共 n n n个小球。有 i i i对个颜色不同的物品两两捆绑在一起,其他位置都是不同颜色的物品,求他们的全排列.根据一一映射的原理,方案数为 ( n − i ) ! (n-i)! (n−i)!.
3.但是剩下的这 n − i n-i n−i个物品中实际上还是有 c n t − i cnt - i cnt−i对小球是颜色相同的,根据可重复排列的原理,我们还需要把重复的部分除掉。即 1 2 c n t − i \frac{1}{2^{cnt-i}} 2cnt−i1.
最后,这题还卡常。我们需要对阶乘 O ( n ) O(n) O(n)的求解逆元.
E.思维+sosdp
题目大意:
给你只含 2 x 2^x 2x的序列.你可以反转任意子区间。问你最大子段和,使得里面没有重复的数,
题目思路:
重点:将任意一个子区间反转意味着能够将两个子区间拼在一起
2.由于要求了一个区间不能有重复的数,那么合法的区间数不超过 n l o g n nlogn nlogn.直接预处理出来。
那么接下来,我们就是枚举每一个区间,每个区间可以被表示成一个二进制数,
那么将每一个合法区间写下来生成一个新的序列 b i b_i bi.问题转化为:
枚举 b i b_i bi,快速找 b j b_j bj满足 b i & b j = 0 b_i\&b_j=0 bi&bj=0,并且 b i ∣ b j b_i|b_j bi∣bj最大.一眼 s o s d p sosdp sosdp,
b i & b j = 0 b_i\&b_j=0 bi&bj=0代表它们没有交集。代表 b j b_j bj是 ( S − b i ) (S-b_i) (S−bi)的子集。所以 d p ( m a s k ) dp(mask) dp(mask)代表的是子集的最大值.一个前缀最大值转移完事.
为什么直接找最大值可行。因为当 b i & b j = 0 b_i\&b_j=0 bi&bj=0时, b i ∣ b j b_i|b_j bi∣bj等价于 b i + b j b_i+b_j bi+bj。所以直接找 b i b_i bi最大就好.