1、跳台阶扩展问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

方法一：暴力方法

设f[i] 表示 当前跳道第 i 个台阶的方法数。那么f[n]就是所求答案。

假设现在已经跳到了第 n 个台阶，那么前一步可以从哪些台阶到达呢？

如果上一步跳 1 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 n-1 个台阶。已知跳到第n-1个台阶的方法数为f[n-1]

如果上一步跳 2 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 n-2 个台阶。已知跳到第n-2个台阶的方法数为f[n-2]

。。。

如果上一步跳 n 步到达第 n 个台阶，说明上一步在第 0 个台阶。已知跳到 第0个台阶的方法数为f[0]

那么总的方法数就是所有可能的和。也就是f[n] = f[n-1] + f[n-2] + ... + f[0]

显然初始条件f[0] = f[1] = 1

所以我们就可以先求f[2]，然后f[3]...f[n-1]， 最后f[n]

解法

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        if number==0 or number==1:
            return 1
        f=[0 for i in range(number+1)]
        f[0]=f[1]=1
        for i in range(2,number+1):
            for j in range(0,i):
                f[i]+=f[j]
        return f[number]

上述解法时间复杂度 o(n2) ，空间复杂度 o(n)

优化

f[n] = f[n-1] + f[n-2] + ... + f[0]

f[n-1] = f[n-2] + f[n-3] + ... + f[0]

则f[n]=2*f[n-1],f[0]=f[1]=1

等比数列求和

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        n = 1
        for i in range(2, number+1):
            n = 2*n
        return n