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以下是使用PCA算法处理实际问题的例子,同样使用鸢尾花数据集,目的依旧是完成降维任务
基本的流程如下:
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1.数据预处理,只有数值数据才可以进行PCA降维
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2.计算样本数据的协方差方阵
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3.求解协方差矩阵的特征值和特征向量
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4.将特征值按照从大到小的顺序排列,选择其中较大的K个,然后将其对应的K个特征向量组成投影矩阵
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5.将样本点投影计算,完成PCA降维任务
1、导入数据
import numpy as np
import pandas as pd
# 读取数据集
df = pd.read_csv('iris.data')
# 原始数据没有给定列名的时候需要我们自己加上
df.columns=['sepal_len', 'sepal_wid', 'petal_len', 'petal_wid', 'class']
df.head()
sepal_len | sepal_wid | petal_len | petal_wid | class | |
---|---|---|---|---|---|
0 | 4.9 | 3.0 | 1.4 | 0.2 | Iris-setosa |
1 | 4.7 | 3.2 | 1.3 | 0.2 | Iris-setosa |
2 | 4.6 | 3.1 | 1.5 | 0.2 | Iris-setosa |
3 | 5.0 | 3.6 | 1.4 | 0.2 | Iris-setosa |
4 | 5.4 | 3.9 | 1.7 | 0.4 | Iris-setosa |
2、展示数据特征
# 把数据分成特征和标签
X = df.iloc[:,0:4].values
y = df.iloc[:,4].values
from matplotlib import pyplot as plt
# 展示我们标签用的
label_dict = {
1: 'Iris-Setosa',
2: 'Iris-Versicolor',
3: 'Iris-Virgnica'}
# 展示特征用的
feature_dict = {
0: 'sepal length [cm]',
1: 'sepal width [cm]',
2: 'petal length [cm]',
3: 'petal width [cm]'}
# 指定绘图区域大小
plt.figure(figsize=(8, 6))
for cnt in range(4):
# 这里用子图来呈现4个特征
plt.subplot(2, 2, cnt+1)
for lab in ('Iris-setosa', 'Iris-versicolor', 'Iris-virginica'):
plt.hist(X[y==lab, cnt],
label=lab,
bins=10,
alpha=0.3,)
plt.xlabel(feature_dict[cnt])
plt.legend(loc='upper right', fancybox=True, fontsize=8)
plt.tight_layout()
plt.show()
可以看见,有些特征区别能力较强,能把3种花各自呈现出来;有的特征区别能力较弱,部分特征数据样本混杂在一起。
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3、数据标准化
一般情况下,在进行训练前,数据经常需要进行标准化处理。
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
X_std = StandardScaler().fit_transform(X)
4、计算协方差矩阵
mean_vec = np.mean(X_std, axis=0)
cov_mat = (X_std - mean_vec).T.dot((X_std - mean_vec)) / (X_std.shape[0]-1)
print('协方差矩阵 \n%s' %cov_mat)
# 利用numpy也可以
# print('NumPy 计算协方差矩阵: \n%s' %np.cov(X_std.T))
协方差矩阵
[[ 1.00675676 -0.10448539 0.87716999 0.82249094]
[-0.10448539 1.00675676 -0.41802325 -0.35310295]
[ 0.87716999 -0.41802325 1.00675676 0.96881642]
[ 0.82249094 -0.35310295 0.96881642 1.00675676]]
5、求特征值与特征向量
cov_mat = np.cov(X_std.T)
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)
print('特征向量 \n%s' %eig_vecs)
print('\n特征值 \n%s' %eig_vals)
特征向量
[[ 0.52308496 -0.36956962 -0.72154279 0.26301409]
[-0.25956935 -0.92681168 0.2411952 -0.12437342]
[ 0.58184289 -0.01912775 0.13962963 -0.80099722]
[ 0.56609604 -0.06381646 0.63380158 0.52321917]]
特征值
[2.92442837 0.93215233 0.14946373 0.02098259]
6、按照特征值大小进行排序
# 把特征值和特征向量对应起来
eig_pairs = [(np.abs(eig_vals[i]), eig_vecs[:,i]) for i in range(len(eig_vals))]
print (eig_pairs)
print ('----------')
# 把它们按照特征值大小进行排序
eig_pairs.sort(key=lambda x: x[0], reverse=True)
# 打印排序结果
print('特征值又大到小排序结果:')
for i in eig_pairs:
print(i[0])
[(2.9244283691111126, array([ 0.52308496, -0.25956935, 0.58184289, 0.56609604])), (0.9321523302535072, array([-0.36956962, -0.92681168, -0.01912775, -0.06381646])), (0.14946373489813383, array([-0.72154279, 0.2411952 , 0.13962963, 0.63380158])), (0.020982592764270565, array([ 0.26301409, -0.12437342, -0.80099722, 0.52321917]))]
----------
特征值又大到小排序结果:
2.9244283691111126
0.9321523302535072
0.14946373489813383
0.020982592764270565
7、计算累积结果
将特征向量累加起来,超过一定百分比时,就可以选择其为降维后的维度大小
# 计算累加结果
tot = sum(eig_vals)
var_exp = [(i / tot)*100 for i in sorted(eig_vals, reverse=True)]
print (var_exp)
cum_var_exp = np.cumsum(var_exp)
cum_var_exp
[72.62003332692029, 23.147406858644153, 3.711515564584534, 0.5210442498510144]
array([ 72.62003333, 95.76744019, 99.47895575, 100. ])
可以发现,使用前两个特征值时,其对应的累积贡献率已经超过了95%,所以选择降到了二维。
# cumsum的用法例子
a = np.array([1,2,3,4])
print (a)
print ('-----------')
print (np.cumsum(a))
[1 2 3 4]
-----------
[ 1 3 6 10]
画图可以更直接的展示
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.bar(range(4), var_exp, alpha=0.5, align='center',
label='individual explained variance')
plt.step(range(4), cum_var_exp, where='mid',
label='cumulative explained variance')
plt.ylabel('Explained variance ratio')
plt.xlabel('Principal components')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()
8、完成PCA降维
将前两个特征向量组合起来完成降维操作
matrix_w = np.hstack((eig_pairs[0][1].reshape(4,1),
eig_pairs[1][1].reshape(4,1)))
print('Matrix W:\n', matrix_w)
Matrix W:
[[ 0.52308496 -0.36956962]
[-0.25956935 -0.92681168]
[ 0.58184289 -0.01912775]
[ 0.56609604 -0.06381646]]
Y = X_std.dot(matrix_w)
print("X.shape : ",X.shape)
print("Y.shape : ",Y.shape)
X.shape : (149, 4)
Y.shape : (149, 2)
可以看见将原来的数据从4维降到2维
9、可视化对比降维前后数据的分布
由于数据具有4个特征,无法在平面图中显示,因此只使用两维特征显示数据
plt.figure(figsize=(6, 4))
for lab, col in zip(('Iris-setosa', 'Iris-versicolor', 'Iris-virginica'),
('blue', 'red', 'green')):
plt.scatter(X[y==lab, 0],
X[y==lab, 1],
label=lab,
c=col)
plt.xlabel('sepal_len')
plt.ylabel('sepal_wid')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()
降维后的结果
plt.figure(figsize=(6, 4))
for lab, col in zip(('Iris-setosa', 'Iris-versicolor', 'Iris-virginica'),
('blue', 'red', 'green')):
plt.scatter(Y[y==lab, 0],
Y[y==lab, 1],
label=lab,
c=col)
plt.xlabel('Principal Component 1')
plt.ylabel('Principal Component 2')
plt.legend(loc='lower center')
plt.tight_layout()
plt.show()