LeetCode - Hard - 51. N-Queens

Topic

Backstracking

Description

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n x n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens’ placement, where 'Q'and '.' both indicate a queen and an empty space, respectively.

Example 1:

Input: n = 4
Output: [[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
Explanation: There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle as shown above

Example 2:

Input: n = 1
Output: [["Q"]]

Constraints:

1 <= n <= 9

Analysis

题目分析

n皇后问题是回溯算法解决的经典问题。

首先来看一下皇后们的约束条件：

不能同行
不能同列
不能同斜线

确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。

下面用一个3 * 3 的棋牌，将搜索过程抽象为一颗树，如图：

注意，为了方便理解，暂时屏蔽皇后们“不能同斜线”的约束条件。

从图可看出，二维矩阵中矩阵的高就是这颗树的高度，矩阵的宽就是树型结构中每一个节点的宽度（有多少个子节点）。

那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这颗树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。

回溯三弄

根据经典回溯模板编程：

void backtracking(参数) {
    
    
    if (终止条件) {
    
    
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
    
    
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

函数签名

List<String> rows：当前遍历行前的皇后摆法。
int lengthOfSide：棋盘单边有多少格，也就是N皇后的N。
int depth：目前递归深度，它的最大值是lengthOfSide。
List<List<String>> result：存放符合要求N皇后摆法。

代码如下：

private void backstracking(List<String> rows, int lengthOfSide, int depth, List<List<String>> result) {
    
    
}

终止条件

回看题目分析的例图，当递归到棋盘最底层（也就是叶子节点）的时候，就可以收集结果并返回了。

代码如下：

if (rows.size() == lengthOfSide) {
    
    
	result.add(new ArrayList<>(rows));
	return;
}

遍历过程

首先，验证皇后摆法是否合法，皇后们不能同行，同列，同斜线，代码如下：

private boolean isValid(List<String> rows, int row, int col, int lengthOfSide) {
    
    

	// 上方向
	for (int i = row - 1; i > -1; i--) {
    
    
		if (rows.get(i).charAt(col) == 'Q')
			return false;
	}

	// 左上斜线方向
	for (int i = row - 1, j = col - 1; i > -1 && j > -1; i--, j--) {
    
    
		if (rows.get(i).charAt(j) == 'Q')
			return false;
	}

	// 右上斜线方向
	for (int i = row - 1, j = col + 1; i > -1 && j < lengthOfSide; i--, j++) {
    
    
		if (rows.get(i).charAt(j) == 'Q')
			return false;
	}

	return true;
}

然后，生成含有一个皇后字符串行，代码如下：

private String makeRow(int index, int lengthOfSide) {
    
    
	StringBuilder sb = new StringBuilder();
	for (int i = 0; i < lengthOfSide; i++) {
    
    
		sb.append(i == index ? 'Q' : '.');
	}
	return sb.toString();
}

最后，遍历过程：

for (int i = 0; i < lengthOfSide; i++) {
    
    
	if (isValid(rows, depth, i, lengthOfSide)) {
    
    //检测皇后放置第depth行，第i列，是否合法
		rows.add(makeRow(i, lengthOfSide));//放置符合要求皇后所在字符串行
		backstracking(rows, lengthOfSide, depth + 1, result);
		rows.remove(rows.size() - 1);//回溯
	}
}

最终代码

请移步至Submission。

参考资料

回溯算法：N皇后问题

Submission

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class NQueens {
    
    

	public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
    
    
		List<List<String>> result = new ArrayList<>();
		List<String> rows = new ArrayList<>();
		backstracking(rows, n, 0, result);
		return result;
	}

	private void backstracking(List<String> rows, int lengthOfSide, int depth, List<List<String>> result) {
    
    
		if (rows.size() == lengthOfSide) {
    
    
			result.add(new ArrayList<>(rows));
			return;
		}

		for (int i = 0; i < lengthOfSide; i++) {
    
    
			if (isValid(rows, depth, i, lengthOfSide)) {
    
    
				rows.add(makeRow(i, lengthOfSide));
				backstracking(rows, lengthOfSide, depth + 1, result);
				rows.remove(rows.size() - 1);
			}
		}
	}

	private String makeRow(int index, int lengthOfSide) {
    
    
		StringBuilder sb = new StringBuilder();
		for (int i = 0; i < lengthOfSide; i++) {
    
    
			sb.append(i == index ? 'Q' : '.');
		}
		return sb.toString();
	}

	private boolean isValid(List<String> rows, int row, int col, int lengthOfSide) {
    
    

		// 上方向
		for (int i = row - 1; i > -1; i--) {
    
    
			if (rows.get(i).charAt(col) == 'Q')
				return false;
		}

		// 左上方向
		for (int i = row - 1, j = col - 1; i > -1 && j > -1; i--, j--) {
    
    
			if (rows.get(i).charAt(j) == 'Q')
				return false;
		}

		// 右上方向
		for (int i = row - 1, j = col + 1; i > -1 && j < lengthOfSide; i--, j++) {
    
    
			if (rows.get(i).charAt(j) == 'Q')
				return false;
		}

		return true;
	}

}

Test

import static org.junit.Assert.*;
import static org.hamcrest.CoreMatchers.*;
import static org.hamcrest.MatcherAssert.assertThat;

import java.util.Arrays;

import org.hamcrest.collection.IsEmptyCollection;
import org.junit.Test;

public class NQueensTest {
    
    

	@Test
	public void test() {
    
    
		NQueens obj = new NQueens();

		assertThat(obj.solveNQueens(1), is(Arrays.asList(Arrays.asList("Q"))));
		
		assertThat(obj.solveNQueens(3), IsEmptyCollection.empty());
		
		assertThat(obj.solveNQueens(4), is(Arrays.asList(Arrays.asList(".Q..","...Q","Q...","..Q."), //
														Arrays.asList("..Q.","Q...","...Q",".Q.."))));
	}
}