算法( Algorithm):是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作。是描述解决问题的方法
算法的特性:输入、输出、有穷性、确定性和可行性。
输入/输出:算法具有0个或多个输入;算法至少有一个或多个输出。
有穷性:指算法在执行有限的步骤后,自动结束而不会出现死循环,并且每个步骤在可接受的时间内完成。
确定性:算法的每一步都具有确定的含义,不会出现二义性。
可行性:算法的每一步都必须是可行的,也就是说,每一步都能够通过执行有限次数完成。
算法设计的要求
正确性:算法的正确性指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
1、算法程序没有语法错误
2、算法程序对合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果
3、算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果
4、算法程序对于精心选择的,甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果
可读性:算法设计的另一个目的是为了方便阅读、理解和交流
健壮性:当输入数据不合法时,算法能够做相关处理,而不是产生异常或者莫名其妙的结果。
时间效率高和存储量低:时间效率是指算法的执行时间;存储量需求指算法在执行过程中需要的最大存储空间,主要指算法程序在运行中所占用的内存或外部硬盘存储空间。
算法效率的度量方法
事后统计法:
事前分析估算法:在计算程序编制前,依据统计方法对 算法进行估算。
运行时所消耗时间取决于:
1、算法采用的方法、策略---算法好坏的根本
2、编译产生的代码质量
3、问题的输入规模
4、机器执行代码的速度
在分析程序运行时间,最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤,把基本操作的数量与输入规模关联起来,即基本操作的数量必须表示成输入规模的函数。
函数的渐进增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大,那么,我们说f(n)的增长 渐进快于g(n)。
判断一个算法的效率时,函数的常数项和其他次要项常常可以忽略不计,而更应该关注主项(最高阶项)的阶数。
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事前估算方法的理论依据:对比不同算法的关键执行次数的渐进增长性,基本可以分析出:某个算法,随着n增大,它会越来越优于另一算法,或者越来越差于另一算法。
算法时间复杂度:在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n变化情况并确定T(n)的数据量级。 算法的时间复杂度,也就是算法的时间度量,记作:T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。-------使用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,称为大O记法。
推导大O阶方法:
1、用常数1取代运行时间中所有加法常数
2、在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
3、如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数
得到的结果就是大O阶
常数阶:与问题的大小无关(n的多少),执行时间恒定的算法,称之为具有O(1)的时间复杂度,又叫常数阶。
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要分析算法的复杂度, 关键要分析循环结构的运行情况。
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线性阶:O(n)
对数阶: O(logn)
平方阶:O(n2)
常见的时间复杂度:
O(1)< O(logn)< O(n)< O(nlogn)< O(n2)< O(n3)< O(2n)< O(n!)< O(nn)
最坏情况和平均情况
最坏情况运行时间是一种保证,那就是运行时间不会再坏了。通常,除非特别指定,提到的运行时间都是最坏情况运行时间。
算法空间复杂度:通过计算算法所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算记作:S(n)=O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
若算法执行时所需的存储空间相对于输入数据量而言是个常数,则称次算法为原地工作,空间复杂度为O(1)。