埃氏筛法
时间复杂度:O(nloglogn)
首先,对于一个合数n来说,必然存在一个小于等于根号n的质因数。
合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数
很容易理解:拿4举例,a*b=4,由不等式可以很容易知道
所以很容易得到:对于一个合数n来说,必然存在一个小于等于根号n的质因数。
所以可以剪枝一下
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100
int a[MAXN];//a[i]= 0 表示i是质数,利用全局变量为0,免得写初始化。。。
int main()
{
for(int i=2;i*i<=MAXN;i++)//筛选的质因数i
for(int j=i*i;j<=MAXN;j+=i)
if(!a[j])a[j]=1;
//对于一个合数j来说,必然存在一个小于等于根号j的质因数,所以已经被前面的i筛过一次了
//这里就不需要j=i*2开始筛了,直接从i*i开始筛即可
for(int i=2;i<=MAXN;i++)//输出
if(!a[i])cout<<i<<" ";
return 0;
}
一般写题用埃氏筛法就够了,埃氏筛法过不去的题,欧拉筛多半也过不去,没有必要写那么长。。。(算法小菜鸡的感受)
欧拉筛法
我感觉做题和埃氏筛法差不多。。。差距不大(O(n)),除非数据量极大的情况,埃氏筛法主要是写的快。
/*
欧拉(线性)筛法
思想:在埃式筛法上进行了优化,去除掉无用功(没有被重复的删),但由于欧拉筛法的特判有取模运算,小范围效率可能不如埃式筛法
*/
//关键点:每个合数只被他最小的质因数筛去
//时间复杂度O(n)
/*
如果i%prime[j]==0,那么i就可以看成prime[i]乘以一个数(记为n);
因为我们存的prime是从小到大存的,所以prime[j+1]>prime[j];
那么i*prime[j+1]就可以看成prime[j]*n*prime[j+1];
那么i*prime[j+1]的最小质因子是prime[j]。
加上if(i%prime[j]==0) break后
我们就可以保证每一个数只被它的最小质因子给筛去,
那么每一个数只会被筛一次,那么时间复杂度为O(n)。
举个例子,6=2*3;当i=2时i%2=0,跳出循环,那它就不会被质因子3给筛去;
当i=3时,6就被质因子2给筛去了。
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200
int a[N],primes[N],n,cnt;
/*
分为三步:
1.将质数加入质数表
2.筛选的时候,将数乘与质数表里面的每一个数,从而筛去合数
3.关键点在于如果被最小的数筛到了就break
*/
void sieve()
{
memset(a,1,sizeof(a));
for(int i=2;i<=n;i++){
if(a[i])primes[cnt++]=i;
for(int j=0;j<cnt&&primes[j]*i<=n;j++){
a[primes[j]*i]=0;
if(i%primes[j]==0)break;
}
}
}
void out()
{
for(int i=0;i<cnt;i++)
cout<<primes[i]<<"\t";
cout<<"\n\n";
for(int i=2;i<=n;i++)
if(a[i])cout<<i<<"\t";
}
int main()
{
cin>>n;
sieve();
out();
return 0;
}