连续控制器离散化方法
z变化法
- 这种方法是对连续对象直接z变换,只能保证前后系统的冲激响应在采样点值相同。
- 如果变换前连续对象是稳定的,也就是极点在s左半平面,则变换后离散系统也是稳定的,其极点在单位圆内。
- 这种变换方法产生较大的频率混叠,也就是s域内一个极点的虚部对应到z域一个虚部,而另一个s域极点的虚部只要满足是刚才s域极点虚部加减kws则映射到z域同一个虚部,无法区分高频和低频,这是很大的缺陷,因此很少用,如果非要用,需要提高采样频率。
差分变化法
后向差分变换法
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这种方法的思想相当于积分中用后向矩形来代替积分。
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公式:
s = 1 − z − 1 T s=\frac{1-z^{-1}}{T} s=T1−z−1 -
s域左半平面映射到z域以0.5为圆心0.5为半径的圆,也就是说,原来连续系统稳定,则离散系统稳定。
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不产生频率混叠,但是存在频率畸变(大圆变小圆)。
前向差分变换法
- 这种方法的思想相当于积分中用前向矩形来近似积分。
- 公式:
s = z − 1 T s=\frac{z-1}{T} s=Tz−1 - 这种方法s域左半平面映射到z域z<1区域,显然包含不稳定区域,因此连续系统稳定离散系统可能不稳定,因此这种方法很少用。
- 不产生频率混叠但产生畸变。
双线性变换法
- 利用 z = e s T = e s T / 2 e − s T / 2 z=e^{sT}=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} z=esT=e−sT/2esT/2 再Taylor展开得到:
s = 2 T z − 1 z + 1 s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1} s=T2z+1z−1 - 不产生频率混叠,且s左半平面映射到z域单位圆内,这是我们很希望看到的结果。
- 变化前后频率发生畸变:
w = 2 T t a n w 1 T 2 w=\frac{2}{T}tan\frac{w_1T}{2} w=T2tan2w1T
高频有较大畸变。
零极点匹配法
- 拥有Tustin变换的优点和缺点。
- 适用于给定连续传递函数为零极点形式。
- 分子少的零点用z域-1点凑。(Tusitn变换可得)
- 不存在频率混叠。
- 不能保证频率不畸变。
- 原系统稳定则离散系统稳定。
绘图比较
s = tf('s');
z = tf('z',0.015);
D = 20*(s+4)/(s+10);
Back = (21.2-20*z^(-1))/(1.15-z^(-1)); %后向差分
zeroholder = c2d(D,0.015); %0阶保持器
Forward = 20*(z-0.94)/(z-0.85); %前向差分
Tustin = (19.16-18.05*z^(-1))/(1-0.86*z^(-1));%双线性变换
k = 8*(1-exp(-0.15))/(1-exp(-0.06));
P_Z = k*(1-z^(-1)*exp(-0.06))/(1-z^(-1)*exp(-0.15));%零极点配置法
step(Back,zeroholder,'--',Forward,'-',Tustin,'r--',P_Z,'y-',D,'g-');
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综合来看Tustin变换的性质较优。