线性DP定义

即线性动态规划，不局限于“线性时间复杂度”的一维动态规划。与数学中的“线性空间”类似，如果一个动态规划算法的“状态”包含多个维度，但在每个维度上都具有“线性”变化的“阶段”，那么该动态规划算法同样称为“线性DP"。

经典例题

AcWing 898. 数字三角形
给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。

        7
      3   8
    8   1   0
  2   7   4   4
4   5   2   6   5

输入格式
第一行包含整数n，表示数字三角形的层数。

接下来n行，每行包含若干整数，其中第 i 行表示数字三角形第 i 层包含的整数。

输出格式
输出一个整数，表示最大的路径数字和。

数据范围
1≤n≤500,
−10000≤三角形中的整数≤10000
输入样例：

5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例：

30

if(r == n)
 MaxSum(r, j) = D[r][j];
 else
    MaxSum(r,j) = Max(MaxSum(r + 1, j),MaxSum(r + 1, j+ 1)) +D[r][j];

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顺序：（由下往上）

/*一、状态表示：f[i][j]
1. 集合：所有从顶点(1, 1) 到 (i, j)的路径之和的方案
2. 属性：最大值

二、状态计算：
1. 思想-----集合的划分
2. 集合划分依据：根据最后一步的来向, 即来自左上和来自右上两种.

f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);//依次为左上、右上*/
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, INF = 1e9;

int n;
int a[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    
    
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )//注意要从0到n（一共n+1个数）
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )//而且这里要每行多初始化一个 
            scanf("%d", &a[i][j]);

    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i + 1; j ++ ) //因为有负数，所以应该将两边也设为-INF
            f[i][j] = -INF;

    f[1][1] = a[1][1];//三角顶点为a[1][1]
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);

    int res = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[n][i]);//遍历最后一层

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

倒序：（不用考虑边界）

/* 一、状态表示：f[i][j]
1. 集合：所有从最后一层到顶点(1, 1)的路径之和的方案
2. 属性：最大值

二、状态计算：
1. 思想-----集合的划分
2. 集合划分依据：根据最后一步的来向, 即来自左下和来自右下两种.

f[i][j] = max(f[i + 1][j] + a[i][j], f[i + 1][j + 1] + a[i][j]);//依次为左下、右下*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=510;
int f[N][N];
int n;

int main(){
    
    
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
        for(int j=1;j<=i;j++){
    
    
            cin>>f[i][j];
        }
    }

    for(int i=n;i>=1;i--){
    
    
        for(int j=i;j>=1;j--){
    
    
            f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+f[i][j];
        }
    }
    cout<<f[1][1]<<endl;
}

作者：TaoZex
链接：https://www.acwing.com/solution/content/3485/