>前言
因为今天的题目没有地方改，加上受zzl巨爷的影响，写了这篇学习小结
>算术基本定理
对于任意正整数 N N N，有 N = p 1 c 1 ∗ p 2 c 2 ∗ . . . ∗ p n c n N=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...*p_n^{c_n} N=p1c1∗p2c2∗...∗pncn
其中 p i p_i pi 是质因数， c i c_i ci 是相对应的个数
>欧拉函数φ
φ ( p ) φ(p) φ(p)为正整数 p p p不同质因子的个数
定义 φ ( 1 ) = 1 φ(1)=1 φ(1)=1
如何求合数 N N N的 φ φ φ值？
φ ( N ) = N ∗ p 1 − 1 p 1 ∗ p 2 − 1 p 2 ∗ . . . ∗ p m − 1 p m = N ∗ ∏ ( 1 − 1 p ) φ(N)=N*\frac{p_1-1}{p_1}*\frac{p_2-1}{p_2}*...*\frac{p_m-1}{p_m}=N*\prod (1-\frac{1}{p}) φ(N)=N∗p1p1−1∗p2p2−1∗...∗pmpm−1=N∗∏(1−p1)
证明如下：
合数 N N N有质因数 p p p，那么 p p p的倍数都不是 N N N的质因数，一共有 N p \frac{N}{p} pN个
同理，对于质因数 q q q，一共有 N q \frac{N}{q} qN个 q q q的倍数不是 N N N的质因数
根据容斥原理，减去两个数的质因数，再加上重复减了的两个数的公倍数， N N N的质因数有 N − N p − N q + N p q N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq} N−pN−qN+pqN 个
化简得， N ∗ ( 1 − 1 p ) ∗ ( 1 − 1 q ) N*(1-\frac{1}{p})*(1-\frac{1}{q}) N∗(1−p1)∗(1−q1)
欧拉函数还有如下性质：
当 p p p是质数时， { φ ( p ) = p − 1 n = p k → φ ( n ) = p k − p k − 1 = ( p − 1 ) p k − 1 \left\{\begin{matrix} \varphi(p)= p-1& & \\ n=p^k→& \varphi(n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}& \end{matrix}\right. {
φ(p)=p−1n=pk→φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1
当 g c d ( a , b ) = 1 gcd(a,b)=1 gcd(a,b)=1时， φ ( a b ) = φ ( a ) ∗ φ ( b ) \varphi(ab)=\varphi(a)*\varphi(b) φ(ab)=φ(a)∗φ(b)
证明如下：
a = p 1 c 1 ∗ p 2 c 2 ∗ . . . ∗ p m c m a=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...*p_m^{c_m} a=p1c1∗p2c2∗...∗pmcm， b = q 1 d 1 ∗ q 2 d 2 ∗ . . . ∗ q n d n b=q_1^{d_1}*q_2^{d_2}*...*q_n^{d_n} b=q1d1∗q2d2∗...∗qndn
因为 g c d ( a , b ) = 1 gcd(a,b)=1 gcd(a,b)=1，所以这其中两两不同
∵ φ ( a b ) = a ∗ b ∗ p 1 − 1 p 1 ∗ . . . ∗ p m − 1 p m ∗ q 1 − 1 q 1 ∗ . . . ∗ q n − 1 q n ∵ \varphi(ab)=a*b*\frac{p_1-1}{p_1}*...*\frac{p_m-1}{p_m}*\frac{q_1-1}{q_1}*...*\frac{q_n-1}{q_n} ∵φ(ab)=a∗b∗p1p1−1∗...∗pmpm−1∗q1q1−1∗...∗qnqn−1
∴ φ ( a b ) = φ ( a ) ∗ φ ( b ) ∴ \varphi(ab)=\varphi(a)*\varphi(b) ∴φ(ab)=φ(a)∗φ(b)