克鲁斯卡尔(Kruskal)算法介绍：

• 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
• 基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
  具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

应用案例：

公交站问题：

1）、某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
2）、各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

克鲁斯卡尔算法图解：

以上图为例来进行演示：

克鲁斯卡尔算法流程：

• 第1步：将边<E,F>加入R中。
  边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

• 第2步：将边<C,D>加入R中。
  上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

• 第3步：将边<D,E>加入R中。
  上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

• 第4步：将边<B,F>加入R中。
  上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。

• 第5步：将边<E,G>加入R中。
  上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

• 第6步：将边<A,B>加入R中。
  上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

克鲁斯卡尔算法分析：

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

• 问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
• 问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

解决方法：

• 问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
• 问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

如何盘算是否构成回路：

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。

关于终点的说明：

1. 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2. 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

详细代码：

package Kruskal;

import java.util.Arrays;

public class KruskalAlogrithm {
    
    
	private int numOfEdges;// 边的数目
	private char[] vertex;// 顶点的集合
	private int[][] matrix;// 邻接矩阵
	private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;

	public static void main(String[] args) {
    
    
		char[] vertex = {
    
     'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		int matrix[][] = {
    
    
				/* A *//* B *//* C *//* D *//* E *//* F *//* G */
				/* A */ {
    
     0, 12, INF, INF, INF, 16, 14 }, /* B */ {
    
     12, 0, 10, INF, INF, 7, INF },
				/* C */ {
    
     INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF }, /* D */ {
    
     INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF },
				/* E */ {
    
     INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8 }, /* F */ {
    
     16, 7, 6, INF, 2, 0, 9 },
				/* G */ {
    
     14, INF, INF, INF, 8, 9, 0 } };
		KruskalAlogrithm kruskalAlogrithm = new KruskalAlogrithm(vertex, matrix);
		kruskalAlogrithm.showGraph();
		System.out.println("排序前：" + Arrays.toString(kruskalAlogrithm.getEdges()));
		DEdge[] edges = kruskalAlogrithm.getEdges();
		kruskalAlogrithm.sort(edges);
		System.out.println("排序后：" + Arrays.toString(edges));
		kruskalAlogrithm.Kruskal();
	}

	// 初始化图
	public KruskalAlogrithm(char[] vertex, int[][] matrix) {
    
    
		this.vertex = vertex;
		this.matrix = matrix;
		for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
    
    
			for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {
    
    
				if (matrix[i][j] != INF) {
    
    
					this.numOfEdges++;
				}
			}
		}
	}

	// 打印邻接矩阵
	public void showGraph() {
    
    
		for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
    
    
			for (int j = 0; j < vertex.length; j++) {
    
    
				System.out.printf("%11d", matrix[i][j]);
			}
			System.out.println();
		}
	}

	/**
	 * 
	 * @Title: sort
	 * @Description: 利用冒泡排序将每个边通过权值进行从小到大的排序
	 * @param @param edges 边的集合
	 * @return
	 */
	private void sort(DEdge[] edges) {
    
    
		for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
    
    
			for (int j = 0; j < edges.length - i - 1; j++) {
    
    
				if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {
    
    
					DEdge temp = edges[j];
					edges[j] = edges[j + 1];
					edges[j + 1] = temp;
				}
			}
		}
	}

	/**
	 * 
	 * @Title: getEdges
	 * @Description: 得到边的一个集合
	 * @return
	 */
	private DEdge[] getEdges() {
    
    
		int index = 0;
		DEdge[] edges = new DEdge[numOfEdges];
		for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
    
    
			for (int j = i + 1; j < vertex.length; j++) {
    
    
				if (matrix[i][j] != INF) {
    
    
					edges[index++] = new DEdge(vertex[i], vertex[j], matrix[i][j]);
				}
			}
		}
		return edges;
	}

	/**
	 * 
	 * @Title: getPosition
	 * @Description: 返回结点v的下标
	 * @param @param v 结点
	 * @return
	 */
	private int getPosition(char v) {
    
    
		for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {
    
    
			if (vertex[i] == v) {
    
    
				return i;
			}
		}
		return -1;
	}

	/**
	 * 
	 * @Title: getEnd
	 * @Description: 返回下标为i的顶点对应的重点
	 * @param @param ends 各个顶点对应的终点的集合，再遍历边的时候动态加入
	 * @param @param i 要寻找的下标为i的顶点
	 * @return 下标为i的顶点对应的终点
	 */
	private int getEnd(int[] ends, int i) {
    
    
		while (ends[i] != 0) {
    
    
			i = ends[i];
		}
		return i;
	}

	private void Kruskal() {
    
    
		// 初始化终点的集合
		int index = 0;
		int[] ends = new int[numOfEdges];
		DEdge[] edges = getEdges();
		System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length);
		DEdge[] res = new DEdge[vertex.length-1];
		sort(edges);
		for (int i = 0; i < numOfEdges; i++) {
    
    
			// 得到这一条边的第一个顶点的下标
			int p1 = getPosition(edges[i].start);
			// 得到这一条边的第二个顶点的下标
			int p2 = getPosition(edges[i].end);
			// 得到p1和p2的终点
			int m = getEnd(ends, p1);
			int n = getEnd(ends, p2);
			if(m!=n) {
    
    
				res[index++] = edges[i];
				//将m的终点置为n
				ends[m] = n;
			}
		}
		System.out.println("最小生成树：");
		for(int i = 0 ; i < index;i++) {
    
    
			System.out.println(res[i]);
		}
	}
}

//新建一个Dedges类
class DEdge {
    
    
	char start;// 边的一个点
	char end;// 边的另一个点
	int weight;// 边的权值

	public DEdge(char start, char end, int weight) {
    
    
		super();
		this.start = start;
		this.end = end;
		this.weight = weight;
	}

	@Override
	public String toString() {
    
    
		return "DEdge [start=" + start + ", end=" + end + ", weight=" + weight + "]";
	}

}

算法难点：

	private int getEnd(int[] ends, int i) {
    
    
		while (ends[i] != 0) {
    
    
			i = ends[i];
		}
		return i;
	}

上述代码的作用使返回指定下标i的顶点的终点，要注意此时的ends数组使动态变化的也就是说再Kruskal（）方法中每遍历一次边时，符合m！=n这个条件才会将ends实行相应的变化，即将符合条件的边的start顶点的终点设置会end，而在上面这串代码中，则是获取相应的终点，如果下标为i的终点等于0，则表示终点指向自身，反之就在ends数组中找到相应的值。