定义

对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得
$$AB=BA=E$$
则称矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B为A的逆矩阵，记$B=A^{-1}$

逆矩阵的唯一性

证明：
若B和C都是A的逆矩阵，则：
$$AB=BA=E,AC=CA=E$$
那么：
$$B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$$

非奇异矩阵

若矩阵A可逆，则$|A|\ne 0$，称矩阵A为非奇异矩阵。
证明：
A可逆，则有$A{A}^{-1}=E$，两边同时求行列式：
$$|A{A}^{-1}|=|E|=1$$
有$|A||A^{-1}|=1$,
故$|A|\ne 0$

矩阵可逆的判定

伴随矩阵

若矩阵A的逆$A^{-1}$存在，对$A{A}^{-1}=E$进行分块：
$A{A}^{-1}=E=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^T\\ {\alpha }_2^T\\ ⋮\\ {\alpha }_n^T\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & 1\end{array}\right)$
即
$\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1^T{b}_1& \cdots & {\alpha }_1^T{b}_n\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_n^T{b}_1& \cdots & {\alpha }_n^T{b}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & 1\end{array}\right)$
则有${\alpha }_i^T{b}_j=\{\begin{array}{l}1i=j\\ 0i\ne j\end{array}$,
${\alpha }_i^T$与$b_j$是两个向量，令$b_j$的元素为${\alpha }_i$各元素对应的代数余子式，则有：
${\alpha }_i^T{b}_j=\{\begin{array}{l}|A|i=j\\ 0i\ne j\end{array}$
所以引入矩阵$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$称为A的伴随矩阵。注意$A^{\ast }$中元素的排列顺序，则有
$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}|A|& & \\ & \ddots & \\ & & |A|\end{array}\right)=|A|E_n$$
只要$|A|\ne 0$，将|A|提到左边，得：
$A(\frac{A^{\ast }}{|A|})=(\frac{A^{\ast }}{|A|})A=E$

矩阵可逆的判定定理

n阶矩阵$A=(a_{ij})$可逆的充要条件是A为非奇异矩阵，即行列式不为0
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$
其中
$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$
称为A的伴随矩阵，$A_{ij}$是|A|中元素$a_{ij}$的代数余子式。
证明

• 必要性
  A可逆$\Rightarrow |A|\ne 0,且A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$
• 充分性
  $|A|\ne 0$,存在$\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=A\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=E$,故A可逆。

分块对角阵的逆矩阵

对各分块矩阵分别求逆即可
一般地，若有分块对角阵
$A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_s\end{array}\right)$,
若每一$|A_i|\ne 0$，则$A_i^{-1}$存在，由
$$\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_s\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{A}_1^{-1}& & \\ & \ddots & \\ & & A_s^{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1{A}_1^{-1}& & \\ & \ddots & \\ & & A_s{A}_s^{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{E}_1& & \\ & \ddots & \\ & & E_s\end{array}\right)$$
便得：
$$A^{-1}={\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_s\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1^{-1}& & \\ & \ddots & \\ & & A_s^{-1}\end{array}\right)$$

矩阵可逆的推论

若AB=E(或BA=E)，则$B=A^{-1}$
证：
由$AB=E_n$，得$|AB|=|A||B|=|E_n|=1$，
从而$|A|\ne 0$，由定理知A必为可逆矩阵；
将等式$AB=E_n$两边左乘以A的逆矩阵$A^{-1}$，
得$B=A^{-1}$，
证毕。

逆矩阵性质

1.可逆矩阵A的逆矩阵$A^{-1}$是可逆矩阵，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

证：
若A可逆，则有$A^{-1}$存在，使得$A^{-1}A=E$，由判定定理知$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

2.同阶可逆矩阵A、B的乘积$AB$是可逆矩阵，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

证：
因为A、B可逆，故$A^{-1}、B^{-1}$存在。
由
$(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AI{A}^{-1}=I$
得
$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

3.可逆矩阵A与非零数k的乘积kA是可逆矩阵，且$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$

证：
因为A可逆，所以$|A|\ne 0$。而$|kA|=k^n|A|$，故$|kA|\ne 0$。所以kA是可逆矩阵。
以因$(kA)(\frac{1}{k}{A}^{-1})=(k\cdot \frac{1}{k})(A{A}^{-1})=A{A}^{-1}=I$，可知
$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$

4.可逆矩阵A的转置矩阵$A^T$是可逆矩阵，且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。

证：
因A可逆，故$|A^T|=|A|\ne 0，$从而$A^T$是可逆矩阵。
由
$A^T(A^{-1}{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=E^T=E$
可知
$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

5.若A可逆，则有$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

证：
因为A可逆，所以$A^{-1}$存在。
而
$|A{A}^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1$，
故有
$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

6.同阶可逆矩阵A与B的和或差$A\pm B$不一定可逆

如A，B各元素互为相反数，和为零矩阵

证明claimer法则

claimer法则
证明：
采用$X=A^{-1}b=\frac{A^{\ast }}{|A|}b$,再将伴随矩阵写出来。