基于朴素贝叶斯分类器的文本分类(一)

Preface

本文缘起于最近在读的一本书 -- Tom M.Mitchell 的《机器学习》书中第 6 章详细讲解了贝叶斯学习的理论知识，为了将其应用到实际中来，参考了网上许多资料，从而得此文。文章将分为两个部分，第一部分将介绍贝叶斯学习的相关理论 ( 如果你对理论不感兴趣，请直接跳至第二部分<<基于朴素贝叶斯分类器的文本分类算法（下） >> ) 。第二部分讲如何将贝叶斯分类器应用到中文文本分类，随文附上示例代码。

Introduction

我们在《概率论和数理统计》这门课的第一章都学过贝叶斯公式和全概率公式，先来简单复习下：

条件概率

定义设 A, B 是两个事件，且 P(A)>0 称 P(B ∣ A)=P(AB)/P(A) 为在条件 A 下发生的条件事件 B 发生的条件概率。

乘法公式 设 P(A)>0 则有 P(AB)=P(B ∣ A)P(A)

全概率公式和贝叶斯公式

定义设 S 为试验 E 的样本空间， B1, B2, …Bn 为 E 的一组事件，若 BiBj=Ф, i≠j, i, j=1, 2, …,n; B1 ∪ B2 ∪ … ∪ Bn=S 则称 B1, B2, …, Bn 为样本空间的一个划分。

定理设试验 E 的样本空间为， A 为 E 的事件， B1, B2, …,Bn 为的一个划分，且 P(Bi)>0 (i=1, 2, …n) ，则 P(A)=P(A ∣ B1)P(B1)+P(A ∣ B2)+ …+P(A ∣ Bn)P(Bn) 称为全概率公式。

定理设试验俄 E 的样本空间为 S ， A 为 E 的事件， B1, B2, …,Bn 为的一个划分，则

P(Bi ∣ A)=P(A ∣ Bi)P(Bi)/∑P(B ｜ Aj)P(Aj)=P(B ｜ Ai)P(Ai)/P(B)

称为贝叶斯公式。说明： i ， j 均为下标，求和均是 1 到 n

下面我再举个简单的例子来说明下。

示例 1

考虑一个医疗诊断问题，有两种可能的假设：（ 1 ）病人有癌症。（ 2 ）病人无癌症。样本数据来自某化验测试，它也有两种可能的结果：阳性和阴性。假设我们已经有先验知识：在所有人口中只有 0.008 的人患病。此外，化验测试对有病的患者有 98% 的可能返回阳性结果，对无病患者有 97% 的可能返回阴性结果。

上面的数据可以用以下概率式子表示：

P(cancer)=0.008,P( 无 cancer)=0.992

P( 阳性 |cancer)=0.98,P( 阴性 |cancer)=0.02

P( 阳性 | 无 cancer)=0.03 ， P( 阴性 | 无 cancer)=0.97

假设现在有一个新病人，化验测试返回阳性，是否将病人断定为有癌症呢？我们可以来计算极大后验假设：

P( 阳性 |cancer)p(cancer)=0.98*0.008 = 0.0078

P( 阳性 | 无 cancer)*p( 无 cancer)=0.03*0.992 = 0.0298

因此，应该判断为无癌症。

贝叶斯学习理论

贝叶斯是一种基于概率的学习算法，能够用来计算显式的假设概率，它基于假设的先验概率，给定假设下观察到不同数据的概率以及观察到的数据本身（后面我们可以看到，其实就这么三点东西，呵呵）。

我们用 P(h) 表示没有训练样本数据前假设 h 拥有的初始概率，也就称为 h 的先验概率，它反映了我们所拥有的关于 h 是一个正确假设的机会的背景知识。当然如果没有这个先验知识的话，在实际处理中，我们可以简单地将每一种假设都赋给一个相同的概率。类似， P(D) 代表将要观察的训练样本数据 D 的先验概率（也就是说，在没有确定某一个假设成立时 D 的概率）。然后是 P(D/h) ，它表示假设 h 成立时观察到数据 D 的概率。在机器学习中，我们感兴趣的是 P(h/D), 也就是给定了一个训练样本数据 D, 判断假设 h 成立的概率，这也称之为后验概率，它反映了在看到训练样本数据 D 后假设 h 成立的置信度。（注：后验概率 p(h/D) 反映了训练数据 D 的影响，而先验概率 p(h) 是独立于 D 的）。

P(h|D) = P(D|h)P(h)/p(D), 从贝叶斯公式可以看出，后验概率 p(h/D) 取决于 P(D|h)P(h) 这个乘积，呵呵，这就是贝叶斯分类算法的核心思想。我们要做的就是要考虑候选假设集合 H ，并在其中寻找当给定训练数据 D 时可能性最大的假设 h （ h 属于 H ）。

简单点说，就是给定了一个训练样本数据（样本数据已经人工分类好了），我们应该如何从这个样本数据集去学习，从而当我们碰到新的数据时，可以将新数据分类到某一个类别中去。那可以看到，上面的贝叶斯理论和这个任务是吻合的。

朴素贝叶斯分类

也许你觉得这理论还不是很懂，那我再举个简单的例子，让大家对这个算法的原理有个快速的认识。（注：这个示例摘抄自《机器学习》这本书的第三章的表 3-2. ）

假设给定了如下训练样本数据，我们学习的目标是根据给定的天气状况判断你对 PlayTennis 这个请求的回答是 Yes 还是 No 。

Day	Outlook	Temperature	Humidity	Wind	PlayTennis
D1	Sunny	Hot	High	Weak	No
D2	Sunny	Hot	High	Strong	No
D3	Overcast	Hot	High	Weak	Yes
D4	Rain	Mild	High	Weak	Yes
D5	Rain	Cool	Normal	Weak	Yes
D6	Rain	Cool	Normal	Strong	No
D7	Overcast	Cool	Normal	Strong	Yes
D8	Sunny	Mild	High	Weak	No
D9	Sunny	Cool	Normal	Weak	Yes
D10	Rain	Mild	Normal	Weak	Yes
D11	Sunny	Mild	Normal	Strong	Yes
D12	Overcast	Mild	High	Strong	Yes
D13	Overcast	Hot	Normal	Weak	Yes
D14	Rain	Mild	High	Strong	No