学习自：https://blog.csdn.net/Lin_RD/article/details/105186081

一、二分法流程

二分法的一般流程如下：

1. 确定左右边界：[left, right)
2. 确定终止条件
3. 获得中点
4. 比较，缩减一半区间

二、确定左右边界

对于一个有序序列最小索引是0，最大索引是$n-1$

可以使用两种方法表示其区间：

• 左闭右开： $[0,n)$
• 左闭右闭：$[0,n-1]$

一般情况符合使用习惯的话都会使用左闭右开的方式

三、确定终止条件

需要明确的是，我们需要遍历整个数组，因此终止条件必须要确保数组的所有元素被包含

如果使用$[0,n)$此时右值不可取，因此终止条件是: while left < right

如果使用$[0,n-1]$此时右值可取，因此终止条件是:while left <= right

例子：假设数组只有一个元素，n=1，左闭右开$[0,1)$则当设置$left<right$则$0<1$满足可以进入考察全部元素

如果是左闭右闭$[0,0]$那么只有设置$left<=right$即有等号才能进入循环，判断所有元素

取右值用<= 不取右值用<

四、获取中点

最主要的是防止溢出：

mid := left + (right-left)/2
mid := (left+right)>>1

五、收缩区间

避免死循环，所以需要保证每次进入while可行区间必须缩小即要么left变大或者right变小

升序序列下，当nums[mid]<target时，应该将left右移，省略左半部分

此时有两种情况：

1. left=mid
2. left=mid+1

选择哪一种考察的原则是：对于位置mid的值是否是可能的target

这里很明显不是，所以我们采用第二种（因为两种情况都是左闭，所以left都可以取到）

当nums[mid]>target时，right左移，省略右半部分

此时也有两种情况：

1. right=mid
2. right=mid-1

相同的对应上面的原则，mid的值也一定不是可能的target，要舍去

• 左闭右开[0, n)： 因为right取不到，所以对应第一种可以直接舍去mid位置，满足；第二种则会多舍去一个mid-1位置，让mid-1位置无法考察到，所以应该选择right=mid （隐式收缩）

• 左闭右闭[0, n]：right可以取到，所以要舍去的话只能选择第二种方式即right=mid-1 （显式收缩）

right是否能取到，是对应while条件，如是是left < right，那么当left==right时是无法进入while循环中的，所以无法取到；对于left<=right条件，当left等于right时可以取到right

总结如下(都假设mid值不是要找的值)：

六、退出循环的位置

while退出后，left和right分别指向哪？

1. while left < right

首先明确的是，这个条件下退出时left == right

因为此条件下每次right=mid而判断收缩右半部的条件是:nums[mid]>target所以可以明确的是nums[right]>target，即退出循环后right指针指向的值一定是大于target的

再者，推出循环时left==right，所以退出循环后left、right指向的值都是大于目标值的

实际上，left、right都指向第一个大于target的值

• 假设left-1存在：

  • 如果执行过赋值left = mid + 1， 那么nums[mid] < target。所以nums[left-1] < target。nums[left-1] < target < nums[left]，显然nums[left]是nums中大于target的最小值。
  • 如果left = mid + 1没有执行过， 那么说明left == 0，没有移动过，这就相当于left-1不存在。

• 如果left-1不存在， left-1不存在说明left == 0， 因为0是第一个索引，所以nums[left]还是第一个大于target的数(target小于nums[0])

2. while left <= right

退出时，left==right+1

如果执行过赋值right = mid - 1，nums[mid] > target， 换句话说nums[right+1] == nums[mid] > target。left = right + 1所以nums[left] > target。

如果没执行过right = mid-1， 那么right == n-1, left == right+1 == n。也就是说不存在大于target的数字(nums[n-1]<target)。

如果执行过赋值left = mid + 1，nums[mid] < target所以nums[mid+1]=nums[left]>target

如果没执行过left = mid + 1， 那么left == 0，是第一个索引，所以left仍然是第一个大于target的数字。

综上所述：不论哪种情况，结束二分时left都是指向第一个大于target的数，或者不存在大于target的数，那么left指向序列的末尾n， 需要注意的是，nums[left-1]并不一定就是目标值，因为目标值不一定存在于序列中

七、训练

704. 二分查找

两种情况如下：

// 左闭右开
func search(nums []int, target int) int {
    
    
    l, r := 0, len(nums)
    for l < r {
    
    
        mid := l + (r-l)/2
        if nums[mid] < target {
    
    
            l = mid+1
        }else if nums[mid] > target {
    
    
            r = mid 
        }else {
    
    
            return mid
        }
    }
    // l的位置是第一个大于target的值，但是l-1不一定就是目标值
    if l < len(nums) && l > 0 && nums[l-1] == target {
    
    
        return l-1
    }
    return -1
}

// 左闭右闭
func search(nums []int, target int) int {
    
    
    l, r := 0, len(nums)-1
    for l <= r {
    
    
        mid := l + (r-l)/2
        if nums[mid] < target {
    
    
            l = mid+1
        }else if nums[mid] > target {
    
    
            r = mid-1
        }else {
    
    
            return mid
        }
    }
    if l > 0 && l < len(nums) && nums[l-1] == target {
    
    
        return l-1
    }
    return -1
}

35. 搜索插入位置

func searchInsert(nums []int, target int) int {
    
    
    l, r, n := 0, len(nums), len(nums)
    for l < r {
    
    
        mid := (l+r) >> 1
        if nums[mid] < target {
    
    
            l = mid+1
        }else if nums[mid] > target {
    
    
            r = mid
        }else {
    
    
            return mid
        }
    }
    // 不存在于数组的三种情况
    if l == 0 {
    
     return 0 }
    if l == n {
    
     return n }
    // if nums[l-1] != target { return l }
    return l
}

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