5 Local consistency notions

5.9 Relational consistency

0. Q: relationally $(i,m)$-consistent（后省略relationally）表示一切$m$个约束构成子序列诱导的CSP ($\mathcal{P}|\mathcal{C}$)中，$i$个变量的对（）为$i-$consistent的instantiation能被（）。
   但是，拓展后的（）的解未必是$i^{\prime }-$consistent（其中$i^{\prime }$表示（））。概括：“局部”地考察这新增的$m$条约束的效果。
   A: $\mathcal{P}$，拓展到$\mathcal{P}|\mathcal{C}$的解。
   $\mathcal{P}|\mathcal{C}$，如此拓展后的instantiation定义域大小
1. Q:

This yields perhaps the ultimate notion of local consistency, called relational consistency

$(0,m)$-consistent就是凭空生成了满足所有$m$个约束的instantiation，所以（）时等价于global consistent.
node consistent前提下，当$m$取1时，（）。
A: CSP恰好只有$m$条约束。
$(1,1)$-consistent每次考察一个变量的一个谓词（注：相当于考察一点连接的一条边或超边）故相当于arc或hyper-arc consistent.

2. Q: 1.中展现了关于$m$的两种极端情况。实际上，$(i,m)$-consistency的泛用性就是来源于参数$m$，之前的notion在处理$m$时要么只能太多，要么只能太少。例如（）
   A: arc consistency等，每次只多考虑一条约束的“增量”。
   $k-$consistency每次必然考虑涉及$k$个变量的所有约束。
   注：比较$k-$consistency和本节的rule，也能发现$k-$consistency确实考察得“太强”。

3. Q: relational $(i,m)$-consistency中对于$i$元instantiation有三种理解，以下哪种正确？

   0. 存在一个CSP的解，其在这个$i$元子序列“投影”是该instantiation.
   1. 该instantiation对于$\mathcal{P}$中每个只涉及这$i$个变量的约束满足。
   2. 该instantiation对于$\mathcal{P}|\mathcal{C}$中每个只涉及这$i$个变量的约束满足。

A: 1.
注：如果是0.的话，那就相当于直接可以解CSP，没有必要引入任何local consistency了。
1.2.的区别主要在于1.考虑的是“增量”（即在已知一致基础上，增加一些约束，希望不违背这些“增量”）。
举例：对于$k-$consistency，如果采用2.的理解，那么$m$需要很大（例如只有binary constraint时，就需要$O(k^2)$量级。如果有更多元的约束只会更大），枚举$m$个约束的子序列变得困难。
如果采用1.的理解，在所有约束都是二元的时，$k-1$元拓展到$k$元就只需要处理新的边，不需要处理之前$k-1$个顶点完全图。所以$m=O(k)$.

4. Q: 本节的规则中，为什么不用${\bar{C}}_X$而是$C_X$？难道instantiation不是满足${\bar{C}}_X$吗？
   A: 提示：${\bar{C}}_X$计算量太大。此处使用$C_X$的规则下如果closed，也确实有$(i,m)-$consistent，那就够了。
   当然，从另一个角度讲，使用${\bar{C}}_X$未必完全无可取之处。因为这样的话需要考察的instantiation数量显然更少，最终得到的交集${\bar{C}}_X\cap {\Pi }_X(C_1\bowtie C_2\cdots C_m)$也会很小。

5.10 Graphs and CSPs

0. Q: 本来多元约束需要超边，现在怎么只用图表示CSP呢？
   A: 超边拆成（子）完全图。
1. Q: width of a complete graph is ()，原因是（）。
   width of a tree is ()，原因是（）。
   A: $n-1$，无论怎么定义$\prec$总有一个点在“最后”连接了前面所有$n-1$个点。
   1，每个节点至多一个父节点。
2. Q: 对于树结构，通过strong $2-$consistency推出global consistency相当于作（）序遍历。由于这种遍历可能有“多个起点”，故可以帮助解释该定理为何要求每个定义域（）而不是之前使用$k-$consistency的“一个定义域非空”
   A: 后，非空
   注：显然可以把每个定义域非空强化成遍历的起点对应的定义域非空。
3. Q: 对于二叉树前序遍历，考察2.
   A: $k=3$且只需要根节点对应定义域非空。
4. Q: Dircetional arc consistency和Directional path consistency分别对应$k$为多少的strong $k-$consistency从而可以使用2.中的做法推出global consistency？
   A: 在所有定义域非空，node consistent前提下，前者对应2（当然只看了“有用的方向”）
   除了上一段前提，还加上directionally arc consistent下，后者对应3（当然也只看了“有用的方向”）