强化学习

前言

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一、policy函数

我们回顾一下Action-Value Functions:

  Policy函数记作π(a|s)，是一个概率密度函数，我们可以用他来自动控制agent运动，策略函数的输入是当前状态s，它的输出是一个概率分布，给每一个输出一个概率值，有了各个动作的概率值，agent就会做一次随机抽样得到动作a，每个动作都可能被抽到，概率越大的动作越容易被抽到。

  所以说只要有了一个好的策略函数π，我们就可以用π来自动控制agent运动，但是我们怎样才能得到这个策略函数呢？

  假如这个游戏只有5个动作10个状态那很好办，我们画一张5*10的表，表里面每一格对应一个概率，我们通过玩游戏将这50个概率值算出来就可以了，但是超级玛丽这种游戏有无数个状态，我没法将每个状态的每个动作的概率记在一张表里，想要agent自动玩超级玛丽这种游戏，我没法直接算策略函数。

  所以我得到函数近似，学出来一个函数来近似策略函数，函数近似的方法有很多，可以用线性函数、神经网络等，如果用神经网络的话，我们可以将这个函数称为Policy network策略网络，把它记为π(a|s;θ),这里的θ是神经网络的参数，一开始θ是初始化的，然后我们通过学习来改进θ，如果是超级玛丽这个问题我们可以将神经网络设置为：

  由于策略函数π是一个概率密度函数，所以π要满足：

  这是什么意思呢？是对于所有的动作a,把π函数的输出都加起来要等于1。
  这也是为什么要在输出时放一个softmax激活函数，softmax让输出的都可以是正数，而且加和等于1。

二、state value function

  我们来看状态价值函数state value function，并且对它做函数近似。
  首先回顾一下DR:

  折扣回报U_t，它的定义是从t时开始，未来所有奖励的加权求和，在t时刻未来的奖励R还没有观测到，所以，用大写字母表示，每个奖励的随机性都来自于前一时刻的动作和状态，动作的随机性来自于策略函数π，状态函数的随机性，来自于状态转移函数p，由于U_t是所有奖励的加和，U_t的随机性来自于未来所有的动作和状态。

  Action value function动作价值函数Q_π是U_t的条件期望，这个期望把t+1时刻以后的动作和状态都消掉了，Qπ只依赖当前的状态s_t和动作a_t，Q_π还依赖于动作函数π，用不同的π得到的Q_π是不一样的，Q_π可以评价在状态s_t的情况下做出a_t的好坏程度。

  state-value function，状态价值函数V_π，V_π是Qπ的期望，把Q_π中的动作A积掉，这里的动作A被当做随机变量，概率密度函数是π，将A消掉，这样的话V_π只和策略函数π、当前的状态s有关了，给定策略函数π，V_π可以评价当前状态的好坏，V_π越大证明当前的胜算越大，给定状态S，V_π可以评价策略π的好坏，如果π很好，V_π就比较大，胜算就大，反之胜算就小。

  如果A是离散变量，Q_π的期望就可以这样展开：

  对于所有的动作a，把Q_π与概率密度函数的内积做连加，这样A就被消掉了。假如a是一个连续变量，就需要采取积分代替连加。

三、ploicy-based reinforcement learning

  下面我们讲ploicy-based reinforcement learning（策略学习）
  刚才我们用神经网络近似了策略函数π，现在，我们用神经网络来近似V_π：
我们知道π的近似函数可以写成：

  现在，我们将Vπ中的π用神经网络来替代，Vπ就变成V(S_t;θ)，这里的θ是神经网络中的参数。

3.1 策略学习的主要思想

  我们刚才用了策略网路来近似策略函数，这样一来，状态价值函数就可以写成：

  V可以评价状态s和策略网络的好坏，给定状态s，策略网络越好，v的值就越大，那么怎么才能然v的值变得越来越好呢？
  对，我们可以改进模型参数θ，来让V(s;θ)变大。

  基于这个想法，我们就可以把目标函数定义为V(s;θ)的期望，记为J(θ)，这个期望是关于s求的，这里把s作为一个随机变量用期望给去掉，这样一来变量只剩下θ了，目标函数J(θ)就是对策略网络的评价，策略网络越好，J(θ)越大，所以呢，策略学习policy based learning目标就是改进θ，使得J(θ)越大越好，怎么样才能使J(θ)越大，怎么去改进θ呢？

  我们需要采用策略梯度算法policy gradient ascent，让agent玩游戏，每一步都会观测到一个不同的状态s，这个s就相当于是从状态的概率分布中随机抽样得来的，θ的更新我们用下列公式：

  我们用梯度上升来更新θ，这里的β是学习率，其中V(s;θ)关于θ求导不是梯度，真正的梯度是J(θ)关于θ求导，这里的V(s;θ)关于θ求导是一个随机梯度，随机性来源于s，为什么要用梯度上升呢？因为我们需要J(θ)越来越大，这里V(s;θ)关于θ的倒数我们称它为策略梯度-policy gradient。

3.2 如何求策略梯度

  下面我们讲为怎么求policy gradient
由于：

所以求V(s;θ)关于θ的倒数为：

  这里面我们将Qπ看做一个常数，就是认为它和θ无关，但这是不太对的，因为Qπ和π有关，而θ是π的参数，所以它们是有关的，这个推导并不严谨，但是能让我们比较容易理解。

  最终我们能够得到下列公式：

有人会有疑问，第二行的公式怎么得来的，我们可以从第二个往第一个推，能够推出来：

  我们已经推出来了策略梯度的两种形式，这两个形式是等价的：

  有了上述两个公式，我们就能够实际计算策略梯度了：

  如果动作是离散的，我们可以用第一个公式：

  具体是怎么计算策略梯度呢？

  我们将π(a|s;θ)关于θ的倒数和Qπ的乘积作为函数f(a,θ)，对于每个动作a，我们将f(a,θ)的值计算出来就好了。

  根据上述的公式，对于离散动作的策略梯度，我们将每个动作a的f(a,θ)都计算出来再加和就好了。但这个方法不适合连续动作。
  对于连续动作我们可以用第二个公式：

  这里面，我们看到需要关于随机变量A求期望，A是一个连续变量，所以要求它就需要做定积分，但是积分是做不到的，因为我们的π函数是一个神经网络极其复杂，我们没法用数学公式将其算出。

  这里就需要做蒙特卡洛近似，将其近似算出来：

  我们已经用推导了policy gradient策略梯度，并且知道怎么样使用策略梯度来学习策略网络。下面我们总结下：

1、在t时刻观测到状态st。
2、接下来我们用蒙特卡洛近似策略梯度，将策略网络π作为概率密度函数，用它随机抽样得到一个动作at，比如说at是向左的动作。
3、然后是计算价值函数Qπ的值将结果记作qt，
4、再是对策略网络求导，算出log(π(a|s;θ)关于θ的导数，得到结果是一个向量矩阵或者张量。d(θ,t)和θ的大小是一样的。
5、第五步是近似的算策略梯度。
6、最后是根据近似的策略梯度来更新网络参数θ。

四、总结

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