前言
给定一个向量组,如果要是向量组中的向量两两正交,则需要对向量组做施密特正交化。
解释
假设向量组为 ( α 1 . α 2 , . . . . . α n ) (α_1.α_2,.....α_n) (α1.α2,.....αn),那就一步一步来做:
第一步,确定基准
以 α 1 α_1 α1为基准,也就是 β 1 = α 1 β_1 = α_1 β1=α1
第二步,消除α_2在α_1上的分量,使得两者正交
(确定方向):首先求 α 1 α_1 α1这个方向的单位向量,为 α 1 / ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ α_1/||α_1|| α1/∣∣α1∣∣
(确定长度):再求 α 2 α_2 α2在 α 1 α_1 α1上面的投影:
c o s ( θ ) = ( α 1 , α 2 ) / ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ cos(θ) = (α_1,α_2)/||α_1||||α_1|| cos(θ)=(α1,α2)/∣∣α1∣∣∣∣α1∣∣
所以,
∣ ∣ α 2 ∣ ∣ c o s ( θ ) = ( α 1 , α 2 ) / ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ ||α_2||cos(θ)=(α_1,α_2)/||α_1|| ∣∣α2∣∣cos(θ)=(α1,α2)/∣∣α1∣∣
(计算分量):投影乘上方向上的单位向量,就得到了 α 2 α_2 α2在 α 1 α_1 α1方向上的分量,为 [ ( α 1 , α 2 ) / ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ ] ∗ [ α 1 / ∣ ∣ α 1 ∣ ∣ ] = ( α 1 , α 2 ) / ( α 1 , α 2 ) ∗ α 1 [(α_1,α_2)/||α_1||] * [ α_1/||α_1||] =(α_1,α_2) / (α_1,α_2) * α_1 [(α1,α2)/∣∣α1∣∣]∗[α1/∣∣α1∣∣]=(α1,α2)/(α1,α2)∗α1。其中, α 1 = β 1 α_1 = β_1 α1=β1,(,)表示内积。
第三步,消除α_3在α_2和α_1上的分量
…以此类推