定义

差分算子 $\Delta$ ： $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$
平移算子 $E$ ： $E f (x) = f (x + 1)$
下降幂： $n>0,\begin{cases}x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)...(x-n+1)\\x^{\underline{-n}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)}\end{cases}$
上升幂： $n>0,\begin{cases}x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)...(x+n-1)\\x^{\overline{-n}}=\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)}\end{cases}$
阶乘幂(下降幂和上升幂的统称)的简单性质：

$x^{\underline{a+b}}=x^{\underline{a}}(x-a)^{\underline{b}}$
$x^{\overline{a+b}}=x^{\overline{a}}(x+a)^{\overline{b}}$
$x^{\underline{n}}=(-1)^n(-x)^{\overline{n}}$
$x^{\overline{n}}=(-1)^n(-x)^{\underline{n}}$
$x^{\underline{k}}(x-\frac{1}{2})^{\underline{k}}=\frac{(2x)^{\underline{2k}}}{2^{2k}}$
证明： $x^{\underline{k}}(x-\frac{1}{2})^{\underline{k}}\\=x(x-\frac{1}{2})(x-1)(x-1-\frac{1}{2})...(x-k+1)(x-k+1-\frac{1}{2})\\=2^{-2k}\times 2x(2x-1)(2x-2)(2x-3)...(2x-2k+2)(2x-2k+1)\\=\frac{(2x)^{\underline{2k}}}{2^{2k}}$
当 $n$ 是自然数时，有
$(x+y)^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}x^{\underline i}y^{\underline{n-i}}$
$(x+y)^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}x^{\overline i}y^{\overline{n-i}}$

有限微积分

$\Delta(x^{\underline{m}})=mx^{\underline{m-1}}$ （类比求导）
$\sum_{i=0}^{n-1}i^{\underline{k}}=\frac{n^{\underline{k+1}}}{k+1}$ （类比经典积分 $\int x^k=\frac{x^{k+1}}{k+1}$ ）
特例：经典积分中 $k = - 1$ 时有特例 $\int \frac{1}{x}=\ln x$ ，这里也有 $\sum_{i=0}^{n-1}i^{\underline{-1}}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i+1}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$
（调和级数： $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}$ ）
$\Delta(2^x)=2^x$ （类比 $(e^x)\prime=e^x$ ）
乘法法则： $\Delta(uv)=u\cdot\Delta v+Ev\cdot\Delta u$
分部积分法则： $\sum u\cdot \Delta v=uv-\sum Ev\cdot \Delta u$