[XSY3320] string （AC自动机，哈希，点分治）

前置芝士：回文前缀&& $b o r d e r$
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考虑点分治，问题变成求经过重心的回文路径个数。
一条经过重心的回文路径长这样：
在这里插入图片描述

$x$ 到 $z$ 的串与 $y$ 到 $r o o t$ 的串相同。

建出根到每个节点对应的串的AC自动机，并在 $f a i l$ 树上找出每个串的回文前缀。判断根到某个节点对应的串是不是回文串可以用哈希解决。

根据 $b o r d e r$ 理论，一个回文串的所有回文前缀的长度可以组成一个不超过 $O (l o g n)$ 项的等差数列。即若 $T_k$ 是回文串， $T_k$ 的最长回文真前缀是 $T_{k-1}$ ， $T_{k-1}$ 的最长回文真前缀是 $T_{k-2}$ ，…， $T_2$ 的最长回文真前缀是 $T_1$ ，那么有 $T_i|=|T_{i-1}|+d$ （ $d$ 为公差）。

考虑一个点作为 $x$ 的贡献。设根到 $x$ 对应的串为 $U$ ， $U$ 在AC自动机上对应点 $X$ 。把 $U$ 的最长回文真前缀看成 $T_k$ ，那么 $T_i$ 作为回文串 $T$ 时，我们要查询有多少个点 $y$ ，满足根到 $y$ 对应的串是 $U$ 的后缀，且长度为 $U|-|T_i|=|U|-|T_1|-(i-1)d$ ，记有 $n u m [i]$ 个符合条件的 $y$ 。那么最后这个 $x$ 的贡献就是 $\sum_{i=1}^{k}num[i]$ ，换句话说，我们要求有多少个点 $y$ ，满足根到 $y$ 对应的串是 $U$ 的后缀，且长度 $l e n$ 符合： $len\equiv|U|-|T_1|(\mod d),|U-T_1|\leq len\leq |U|-|T_k|$ 。

$U$ 的后缀，即 $X$ 在 $f a i l$ 树上的祖先对应的串。我们对 $f a i l$ 树 $d f s$ ，同时开一个数组 $c_{i,j}$ 记录当前节点有多少个祖先（包括自己），满足该祖先代表的串的长度 $\mod i=j$ 。

那么最终贡献就是 $d f s$ 到的点代表的串长为 $U|-|T_k|$ 时 $c_{d,(|U|-|T_1|)\mod d}$ 的值减去 $d f s$ 到的点代表的串长为 $U|-|T_1|-d$ 时 $c_{d,(|U|-|T_1|)\mod d}$ 的值。

但这样空间复杂度是 $O(n^2)$ 的，所以我们考虑分块，只开到 $c[\sqrt{n}][\sqrt{n}]$ 的大小，对于公差大于 $\sqrt{n}$ 的，我们暴力跳 $f a i l$ 寻找答案。

[XSY3320] string （AC自动机，哈希，点分治）

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