CHAPTER_11  提高篇(5)——动态规划

11.4最长公共子序列（LCS）

我们来看最长公共子序列（LCS）问题。

题目：

给定两个字符串（或数字序列）A和B，求一个字符串，使得这个字符串是A和B的最长公共部分。

例如：字符串“sadstory”与"adminsorry"的最长公共子序列为"adsory"，长度为6。

输入样例：

sadstory

adminsorry

输出样例：

6

思路：

我们采用动态规划的做法来解LCS问题。

令dp[i][j]表示字符串A的 i 号位和B的 j 号位之前的LCS长度，如dp[4][5]表示“sads”和“admin”的LCS长度。那么可以根据dp[i][j]的情况分为两种决策：

（1）若A[i]==B[j]，则字符串A与字符串B的LCS增加了1位，即有dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。例如，dp[4][5]表示“sads”和“admin”的LCS长度，而A[4]==B[5]（都为's'），dp[4][5]=dp[3][4]+1。

（2）若A[i]!=B[j]，则字符串A的 i 号位与字符串B的 j 号位之前的LCS无法延长，dp[i][j]将会继承dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值。即有dp[i][j]=max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1])。

于是我们得到了状态转移方程：

然后我们确定边界：dp[i][0]=dp[0][j]=0。

参考代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=101;
char A[maxn],B[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int main() {
	int n;
	gets(A+1);
	gets(B+1);               //从下标1开始读入
	int lenA=strlen(A+1);   
	int lenB=strlen(B+1);    //从下标1读入,因此读取长度也要+1 
	//边界
	for(int i=0;i<=lenA;i++) {
		dp[i][0]=0;
	}
	for(int j=0;j<=lenB;j++) {
		dp[0][j]=0;
	}
	//状态转移方程
	for(int i=1;i<=lenA;i++) {
		for(int j=1;j<=lenB;j++) {
			if(A[i]==B[j]) {
				dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
			}
			else {
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
			}
		}
	} 
	cout<<dp[lenA][lenB]<<endl;
	return 0;
}