CHAPTER_11 提高篇(5)——动态规划
11.4最长公共子序列(LCS)
我们来看最长公共子序列(LCS)问题。
题目:
给定两个字符串(或数字序列)A和B,求一个字符串,使得这个字符串是A和B的最长公共部分。
例如:字符串“sadstory”与"adminsorry"的最长公共子序列为"adsory",长度为6。
输入样例:
sadstory
adminsorry
输出样例:
6
思路:
我们采用动态规划的做法来解LCS问题。
令dp[i][j]表示字符串A的 i 号位和B的 j 号位之前的LCS长度,如dp[4][5]表示“sads”和“admin”的LCS长度。那么可以根据dp[i][j]的情况分为两种决策:
(1)若A[i]==B[j],则字符串A与字符串B的LCS增加了1位,即有dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。例如,dp[4][5]表示“sads”和“admin”的LCS长度,而A[4]==B[5](都为's'),dp[4][5]=dp[3][4]+1。
(2)若A[i]!=B[j],则字符串A的 i 号位与字符串B的 j 号位之前的LCS无法延长,dp[i][j]将会继承dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值。即有dp[i][j]=max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1])。
于是我们得到了状态转移方程:
然后我们确定边界:dp[i][0]=dp[0][j]=0。
参考代码:
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=101;
char A[maxn],B[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int main() {
int n;
gets(A+1);
gets(B+1); //从下标1开始读入
int lenA=strlen(A+1);
int lenB=strlen(B+1); //从下标1读入,因此读取长度也要+1
//边界
for(int i=0;i<=lenA;i++) {
dp[i][0]=0;
}
for(int j=0;j<=lenB;j++) {
dp[0][j]=0;
}
//状态转移方程
for(int i=1;i<=lenA;i++) {
for(int j=1;j<=lenB;j++) {
if(A[i]==B[j]) {
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
}
else {
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
}
}
cout<<dp[lenA][lenB]<<endl;
return 0;
}