-1.ICG
公平游戏,每个状态都是先手必胜或先手必败。# ∗ ( @ *(@ ∗(@&(%&$((省略一堆定义)
0.SG 函数
SG 函数表示对当前局面的评估, S G ( S ) = m e x ( S G ( S ′ ) ) S ′ ∈ n x t ( S ) SG(S)=mex(SG(S'))S'\in nxt(S) SG(S)=mex(SG(S′))S′∈nxt(S), n x t ( S ) nxt(S) nxt(S) 表示当前局面的后继局面的集合。
1.nim游戏:
万 恶 之 源
n n n 堆石头,每堆 a i a_i ai 个,每次选一堆取任意个,没得取就GG了。
结论1:单一 nim 游戏(即 n = 1 n=1 n=1), x x x 表示当前局面所剩下的石头, S G ( x ) = x SG(x)=x SG(x)=x。
结论2:当且仅当 SG(a_1)^ SG(a_2) ^ SG(a_3)…^SG(a_n) = 0 时,先手必败,否则先手必胜。
结论 3:任何 ICG 模型都可以转化为和其 S G SG SG 值相等的若干个 nim 游戏。
扩展 1:每个人最多选 k k k 个。结论:将所有 a i a_i ai 对 k + 1 k+1 k+1 取模。
扩展 2:
4.一些 SG 函数
扩展 1:两队人(每队各 n n n 人)两两火并分别进行 ICG 游戏,最后一轮哪队赢了哪队就赢了。假定都是第一队人先行动,求哪队必胜。
3.无向图删边游戏