一个实际问题，某城市在 2013 年 - 2017 年的房价如下表所示:

现在，我们希望通过对该数据进行线性回归，即使用线性模型 y = ax + b 来拟合上述数据，此处 a 和 b 是待求的参数。
首先，定义数据，进行归一化操作

import numpy as np

X_raw = np.array([2013, 2014, 2015, 2016, 2017], dtype=np.float32)
y_raw = np.array([12000, 14000, 15000, 16500, 17500], dtype=np.float32)

X = (X_raw - X_raw.min()) / (X_raw.max() - X_raw.min())
y = (y_raw - y_raw.min()) / (y_raw.max() - y_raw.min())

梯度下降方法来求线性模型中两个参数 a 和 b 的值

Numpy下的线性回归

使用Numpy这一通用的科学计算库来实现梯度下降方法。
NumPy 提供了多维数组支持，可以表示向量、矩阵以及更高维的张量。同时，也提供了大量支持在多维数组上进行操作的函数（比如下面的 np.dot() 是求内积， np.sum() 是求和）。

a, b = 0, 0

num_epoch = 10000
learning_rate = 1e-3
for e in range(num_epoch):
    # 手动计算损失函数关于自变量（模型参数）的梯度
    y_pred = a * X + b
    grad_a, grad_b = (y_pred - y).dot(X), (y_pred - y).sum()

    # 更新参数
    a, b = a - learning_rate * grad_a, b - learning_rate * grad_b

print(a, b)

两个痛点：

①经常需要手工求函数关于参数的偏导数。如果是简单的函数或许还好，但一旦函数的形式变得复杂（尤其是深度学习模型），手工求导的过程将变得非常痛苦，甚至不可行。
②经常需要手工根据求导的结果更新参数。这里使用了最基础的梯度下降方法，因此参数的更新还较为容易。但如果使用更加复杂的参数更新方法（例如 Adam 或者 Adagrad），这个更新过程的编写同样会非常繁杂。

而 TensorFlow 等深度学习框架的出现很大程度上解决了这些痛点，为机器学习模型的实现带来了很大的便利。

TensorFlow 下的线性回归

    使用 tape.gradient(ys, xs) 自动计算梯度；
    使用 optimizer.apply_gradients(grads_and_vars) 自动更新模型参数。

X = tf.constant(X)
y = tf.constant(y)

a = tf.Variable(initial_value=0.)
b = tf.Variable(initial_value=0.)
variables = [a, b]

num_epoch = 10000
optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=1e-3) # 声明了一个梯度下降优化器optimizer,学习率为1e-3
for e in range(num_epoch):
    # 使用tf.GradientTape()记录损失函数的梯度信息
    with tf.GradientTape() as tape:
        y_pred = a * X + b
        loss = 0.5 * tf.reduce_sum(tf.square(y_pred - y))
    # TensorFlow自动计算损失函数关于自变量（模型参数）的梯度
    grads = tape.gradient(loss, variables)
    # TensorFlow自动根据梯度更新参数
    optimizer.apply_gradients(grads_and_vars=zip(grads, variables))

print(a, b)