题目描述
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列,再让他们研究了最长公共子序列,现在又让他们研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说,对于两个数列 A A A 和 B B B,如果它们都包含一段位置不一定连续的数,且数值是严格递增的,那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列,而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂,小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。
不过,只要告诉奶牛它的长度就可以了。
数列 A A A 和 B B B 的长度均不超过 3000。
输入格式
第一行包含一个整数 N N N,表示数列 A , B A,B A,B 的长度。
第二行包含 N N N 个整数,表示数列 A A A。
第三行包含 N N N 个整数,表示数列 B B B。
输出格式
输出一个整数,表示最长公共上升子序列的长度。
数据范围
1 ≤ N ≤ 3000 1≤N≤3000 1≤N≤3000,序列中的数字均不超过 2 31 − 1 2^{31}−1 231−1。
输入样例
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例
2
题目分析
此题是LIS和LCS的结合版。
状态表示:设 f [ i , j ] f[i,j] f[i,j] 表示以 A A A 的前 i i i 个数字和 B B B 的前 j j j 个数字构成,且以 B [ j ] B[j] B[j] 结尾的LCIS的长度,最后结果应为 m a x { f [ n , i ] ∣ 1 ≤ i ≤ n } max\{f[n,i]|1\le i\le n\} max{ f[n,i]∣1≤i≤n}。(你是否想过为什么状态是这么设计的?怎么想到这样表示的?就当是前人经验吧,记住就好了,就像公式一样,会用就行。)
状态计算:
- a [ i ] ≠ b [ j ] a[i]\ne b[j] a[i]=b[j],那么 f [ i , j ] = f [ i − 1 , j ] f[i,j]=f[i-1,j] f[i,j]=f[i−1,j] (注意在计算 f [ i , j ] f[i,j] f[i,j] 时 j j j 不能变,因为一定以 B [ j ] B[j] B[j] 结尾);
- a [ i ] = b [ j ] a[i]=b[j] a[i]=b[j],根据LIS的计算方法,我们通过一重循环枚举得到 m a x v = m a x { f [ i − 1 , x ] + 1 ∣ 1 ≤ x < j 且 B [ x ] > B [ j ] } maxv=max\{f[i-1,x]+1|1\le x<j且B[x]>B[j]\} maxv=max{ f[i−1,x]+1∣1≤x<j且B[x]>B[j]},用该最大值更新, f [ i , j ] = m a x { f [ i , j ] , m a x v } f[i,j]=max\{f[i,j],maxv\} f[i,j]=max{ f[i,j],maxv}。
代码:
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 3050;
int a[MAXN], b[MAXN], f[MAXN][MAXN];
int n, ans;
int main(){
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= n; j ++){
if (a[i] == b[j]){
f[i][j] = 1;
for (int x = 1; x < j; x ++)
if (b[x] < b[j])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][x] + 1);
}
else f[i][j] = f[i - 1][j];
}
for (int i = 1; i <= n; i ++)
ans = max(ans, f[n][i]);
cout << ans << endl;
return 0;
}
在枚举 m a x v maxv maxv 的值时,发现 B [ j ] = A [ i ] B[j]=A[i] B[j]=A[i],所以条件为 B [ x ] < A [ i ] B[x]<A[i] B[x]<A[i],而这里的 A [ i ] A[i] A[i] 是第一层循环中的值,是确定的,与第二层循环无关,所以可以将其提到第二层循环之外,在第二层循环的同时更新 m a x v maxv maxv 的值即可 (即求前缀最小值),无需第三层循环。
上述代码的三重循环部分可变为:
for (int i = 1; i <= n; i ++){
int maxv = 1;
for (int j = 1; j <= n; j ++){
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
if (b[j] < a[i]) maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1);
}
}
这道题转移部分的优化告诉我们,在实现状态转移方程时,要注意观察决策集合的范围随着状态的变化情况。对于“决策集合中的元素只增多不减少”的情景,就可以像本题一样维护一个变量来记录决策集合的当前信息,避免重复扫描,把转移的复杂度降低一个量级。