AcWing 89.a^b

题目描述

求 $a$ 的 $b$ 次方对 $p$ 取模的值。

输入格式

三个整数 $a,b,p$，在同一行用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示 a^b mod p的值。

数据范围

$0\le a,b\le 10^9$，
$1\le p\le 10^9$

输入样例

3 2 7

输出样例

2

题目分析

快速幂。根据二进制， 如 $b$ 在二进制表示下有 $k$ 位，其中第 $i(0\le i\le k)$ 位的数字是 $c_i$，那么 $b=c_{k-1}{2}^{k-1}+c_{k-1}{2}^{k-2}+\dots +c_0{2}^0$。因此，$a^b=a^{c_{k-1}{2}^{k-1}}\ast a^{c_{k-1}{2}^{k-2}}\ast \dots \ast a^{c_0{2}^0}$。又 $a^{2^i}=(a^{2^{i-1}}{)}^2$，因此我们可以通过 $k$ 次递推求出每个乘积项，当 $c_i=1$ 时将这一项乘入结果中，时间复杂度 $O(k)=O(logb)$。

代码：

int power(int a, int b, int p){
    
    
	if (p == 1) return 0;  //特判
	int res = 1;
	while (b){
    
    
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

AcWing 90. 64位整数乘法

题目描述

求 $a$ 乘 $b$ 对 $p$ 取模的值。

输入格式

第一行输入整数 $a$，第二行输入整数 $b$，第三行输入整数 $p$。

输出格式

输出一个整数，表示 a*b mod p的值。

数据范围

$1\le a,b,p\le 10^{18}$

输入样例

3
4
5

输出样例：

2

题目分析

龟速乘。与上题快速幂的思想类似，$a\ast b=a\ast c_{k-1}\ast 2^{k-1}+a\ast c_{k-2}\ast 2^{k-2}+\dots +a\ast c_0\ast 2^0$。$k$ 次递推求出每个成积项，如果 $c_i=1$ 就将其加入结果中，时间复杂度 $O(logb)$。该方法可以保证运算过程中long long不会溢出。

代码：

long long mul(long long a, long long b, long long p){
    
    
	long long res = 0;
	while (b){
    
    
		if (b & 1) res = (res + a) % p;
		a = a * 2 % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}