无向树
无向树即 连通无回路 的无向图。
无向树中的结点分为两类：树叶（度为1）、分支点（度大于1）。
无向树的性质
- n阶非平凡的无向树至少有两片树叶。
- 阶大于等于3的树必有割点。
- 树中分支点必为割点，树中边均为桥。 去掉任意一条边都会使图不再连通。
- 含有 n n n个顶点的树，边的数目为 n − 1 n-1 n−1，度数为 2 ( n − 1 ) 2(n-1) 2(n−1).
若 G G G为 n n n阶 m m m条边的无向连通图，则 m ≥ n − 1 m \ge n-1 m≥n−1.
即树是最弱的无向连通图。
生成树
任何无向连通图都存在生成树。
定理：无向图 G G G有生成树 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ G G G是连通图
无向连通图中的边可分为两类：参与构成生成树的树枝、不参与构成生成树的弦（参与构成余树）。
对于含 m m m条边的 n n n阶无向连通图，其生成树的边的数目为 n − 1 n-1 n−1，弦的数目为 m − ( n − 1 ) m-(n-1) m−(n−1).
注意：余树不一定连通，也不一定含有回路，因此余树不一定是树。
连通图和它的生成树的差别在于图中可能包含回路，生成树中不包含回路。
一般情况下，连通图的生成树不唯一。
凯莱公式： K n 的 生 成 树 的 个 数 为 n n − 2 K_n的生成树的个数为n^{n-2} Kn的生成树的个数为nn−2.
因此对于含 m m m条边的 n n n阶无向连通图，其 m − ( n − 1 ) m-(n-1) m−(n−1)条弦可构成 m − ( n − 1 ) m-(n-1) m−(n−1)个基本回路，所有基本回路构成的集合称为基本回路系统 ， m − ( n − 1 ) m-(n-1) m−(n−1)称为圈秩。
注意：基本割集是针对整个图而言的。
基本割集中仅含一条树枝，其余均为弦。
求基本割集的简单方法：取生成树中的某一树枝，将该树枝所连个两个“连通分量”圈出，则整个图中沟通这两个集合的所有边即构成基本割集。
每个树枝唯一对应一个基本割集，因此基本割集的数目与树枝数目相同，为 n − 1 n-1 n−1，称为割集秩。
根树
r 叉 树 → r 叉 正 则 树 → r 叉 完 全 树 r叉树\rightarrow r叉正则树 \rightarrow r叉完全树 r叉树→r叉正则树→r叉完全树