无序积

设$A,B$为任意的两个集合，称 { { a , b } ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } \{\{a,b\} | a\in A\land b\in B\} { { a,b}∣a∈A∧b∈B}为$A$与$B$的无序积，记作$A\&B$.
可见无序积是一个集合，其中的每个元素都是一个含两个元素的小集合 (无序对)。
将无序积中的无序对 { a , b } \{a,b\} { a,b}记作$(a,b)$。
注意：$(a,b)=(b,a)$、$A\&B=B\&A$

图的基本概念

图论研究的图是不同于几何图形、机械图形的另一种数学结构,。
由于图的顶点位置和边的长度的任意性, 一个图的图形表示并不是唯一的。
图论中，不关心图中顶点的位置, 边的长短和曲直形状, 只关心有多少顶点,哪些顶点之间有边.

注意到：

• $V,E$都是一个集合，其中$V$中的元素是普通的单个顶点，而$E$中的元素为无序对（或有序对）。
  $G$是$V,G$的二元组，严格意义上$G$不能称为集合。
• “多重子集”意味着图中可以存在重边

图中顶点的个数（即顶点集$V$中的元素个数）称为图的阶,   $n$个顶点的图称为$n$阶图。

若图中没有边（即边集$E$为空集），则称为零图。注意零图与图中顶点的个数无关。
特别的，1阶零图又称为平凡图。平凡图只有一个顶点，没有边。

在图的运算中可能会产生顶点集为空集的运算结果，规定顶点集为空集的图为空图，记为∅。（注意，图的定义中，顶点集是不能为空集的）

注意区分零图与空图

一条边$e$与其所连接的两个端点 $v_i,v_j$ 之间是关联的，则$e$与$v_i$（$v_j$）的关联次数均为1；若$v_i=v_j$（即是一个自环），则$e$与$v_i$的关联次数为2；若$e$与$v_i$不关联，则$e$与$v_i$的关联次数为0.

图论中 环特指自环。

无向图中顶点所连接的边数为该顶点的度$d_G$，注意：一个环给它的顶点提供2个度。
对于有向图，度可分为入度$d_D^{-}$和出度$d_D^{+}$，度 = 入度 + 出度。
对于整个图而言，定义最大度$\Delta (G)$和最小度$\delta (G)$（有向图中还定义有最大入度、最小出度、…）

• 对于无向简单图，$0\le \delta (G)\le d(v_i)\le \Delta (G)\le n-1$
• 对于有向简单图，$0\le \delta (D)\le d(v_i)\le \Delta (D)\le 2(n-1)$

度数是单个顶点的属性，而最大度数、最小度数是整个图的属性。

度为1的顶点称为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。
度为奇数（偶数）的顶点称为奇度顶点（偶度顶点）。

若两个顶点之间有一条边相接，则称这两个顶点相邻；若两个边至少有一个公共端点，则称这两条边相邻。

$<v_i,v_j>$：$v_i\to v_j$ ，称$v_i$为始点，$v_j$为终点，$v_i$邻接到$v_j$，$v_j$邻接于$v_i$.

拓展：
设$D$为$n$阶有向简单图，若$D$的基图为$n$阶无向完全图，则称$D$为$n$阶竞赛图。
可见$n$阶竞赛图的边数为$\frac{n(n-1)}{2}$.

正则图并非唯一的（因为阶数不确定）。

基本定理

握手定理

• $所有顶点的度数之和=边数\times 2$
• $对于有向图，特别的，所有顶点的入度之和=所有顶点的出度之和=边数$
• $奇度顶点的数目为偶数$

度数列可图化

$非负度数列是可图化的\iff 所有顶点的度数之和为偶数$

注意：

• 若存在无向图的度数列为$d$，则称$d$是可图化的。
• 标定无向图的度数列是唯一的，但度数列所对应的无向图却不一定唯一。

连通

$在n阶图中，若从顶点u到v(u\ne v)存在通路，则从u到v存在长度小于等于n-1的$$初级通路$。
$在n阶图中，如果存在v到自身的回路，则从v到自身存在长度小于等于n的初级回路$。

有向图连通性的判别

$有向图D是强连通的⟺D中存在经过每个顶点至少一次的回路$。
$有向图D是单向连通的⟺D中存在经过每个顶点至少一次的通路$。

标定图的矩阵表示

图无法与二元关系一一对应，因为图是多重集合而二元关系是集合。

关系矩阵

注意：关联矩阵 ≠ 关系矩阵。

无向图的关联矩阵$M(G)$

矩阵第$i$行，第$j$列的元素为顶点$v_i$和边$e_j$的关联次数，取值仅有3种：0、1、2。

关联矩阵的行描述的是顶点的性质，列描述的是边的性质。

有向无环图的关联矩阵$M(D)$

矩阵第$i$行，第$j$列的元素描述的是顶点$v_i$和边$e_j$的关系，取值仅有3种：-1、0、1。

有向图的邻接矩阵$A(D)$

$$\begin{gathered} A^l中的元素a_{ij}^{(l)}表示从v_i到v_j的长度为l的通路数。 \\ {A}^l中所有元素之和即图中长度为l的通路数。 \\ {A}^l中主对角线元素之和即图中长度为l的回路数。 \end{gathered}$$
注意此处邻接矩阵的乘法就是普通的矩阵乘法，而并非布尔运算。

设$B_l=A+A^2+A^3+...+A^l$，则
$B_l$中元素$b_{ij}^{(l)}$为$D$中$v_i到v_j$的长度小于等于$l$的通路数，
$B_l$中元素之和为图中长度小于等于$l$的通路总数，
$B_l$中对角线元素之和为图中长度小于等于$l$的回路数。

有向图的可达矩阵$P(D)$

有向图的可达矩阵就是程序设计中的有向图“邻接矩阵”。