声明两个前提，然后根据这两个前提推导信息量的形式：

• 多个事件同时发生的概率是多个事件发生概率的乘积。
• 多个事件同时发生的总信息量等于每个事件信息量的和。

翻译成数学语言：

设$f(x)$表示事件A的信息量，其中x为事件A发生的概率，则：

$f(x_1{x}_2)=f(x_1)+f(x_2)$其中$x_1,x_2\in \left(0,1\right]$

进一步抽象：

已知$f(x)$定义域$x\in \left(0,1\right]$，满足$f(xy)=f(x)+f(y)$，求$f(x)$。

解如下：

令$x=y=1$，则：

$f(1)=f(1)+f(1)$，所以$f(1)=0$

由牛顿-莱布尼兹公式：

$f(1)-f(x)$

$={\int }_x^{1}f\prime (t)dt$

$={\int }_x^1\frac{f(t+dt)-f(t)}{dt}dt$

$={\int }_x^1\frac{f(t\frac{t+dt}{t})-f(t)}{dt}dt$

$={\int }_x^1\frac{f(t)+f(1+\frac{dt}{t})-f(t)}{dt}dt$

$={\int }_x^1\frac{f(1+\frac{dt}{t})}{dt}dt$

$={\int }_x^1\frac{f(1+\frac{dt}{t})-f(1)}{dt}dt$

$={\int }_x^1\frac{1}{t}\frac{f(1+\frac{dt}{t})-f(1)}{\frac{dt}{t}}dt$

由于 ${\lim }_{dt\to 0}\frac{dt}{t}=0$，所以：

$f(1)-f(x)={\int }_x^1\frac{1}{t}f\prime (1)dt$

$0-f(x)=f\prime (1){\int }_x^1\frac{1}{t}dt$，由于$0<t\le 1$且$f(1)=0$，所以：

$f(x)=-f\prime (1)\ln x其中(x\in (0,1])$

到此基本已经完成了推导，换底公式一般化：

$f(x)=-\frac{f\prime (1)}{{\log }_{a}e}{\log }_{a}x$

设$\gamma =\frac{{\log }_{a}e}{f\prime (1)}$，上式两边同乘$\gamma$：

$F(x)=\gamma f(x)=-{\log }_{a}x$

$F(x)$就是信息量的表示形式。

数学式子推导出来了不代表理解了。问题在于对数到底是什么，理解了这个才能理解信息量。

对数${\log }_{a}x$是一次探索，探索的目标是求多少个$a$连乘的结果等于$x$。这个求对数的问题可以转化为“最少问多少个问题可以把事情搞清楚”，信息的多少就是把事情搞清楚之所需狠劲儿的度量，因此问题的数量就是这件事的信息量。

以猜数字为例，假设整数数字范围1～32，要问几个问题呢？

二分法最快，先问是16吗？根据回答继续递归询问。一次询问可以排除掉$\frac{1}{2}$的结果，一共问多少次可以得到确定的结论呢？

$\frac{32}{2^x}=1$

求$x$很容易：

$x={\log }_{2}32$

$x=5$就是猜数字的信息量。

世界万物的探究均可转化为不断询问是或否，万物皆信息。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。