算法时间复杂度
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算法时间复杂度的定义:
(1)时间频度: 一个算法执行所耗费的时间,从理论上是不能算出来的,必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试,只需知道哪个算法花费的时间多,哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
(2)时间复杂度: 在刚才提到的时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。 一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
一般情况下,随着输入规模n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。显然,利用时间复杂度,可以算出我们的两个求和算法的时间复杂度分别为O(1),O(n)。
推导方法
- 用常数1取代运行中的所有加法函数
- 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
- 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数
- 得到的最后结果就是O的阶数
- 常数阶
这里举一个例子
int sum=0,n=100;
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
System.out.println("Hello World!");
printf("Hello World!");
sum = (1+n)*n/2;
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这里的时间复杂度并不是O(8),而是O(1),因为printf的次数并不随着时间规模的增大而增大。
线性阶
一般含有非嵌套循环涉及线性阶,随着n的增大,对应计算次数呈直线增长。例如
int i,sum=0,n=100;
for(i=1;i<=n;i++){
sum=sum+i;
}
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时间复杂度为O(n)。
平方阶
对于嵌套的循环,例如:
int i,j,n=100;
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=0;j<n;j++){
System.out.println("Hello World!");
}
}
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时间复杂度为O(n)。
对数阶
我们看下这个程序:
nt i=1,n=100;
while(i<n){
i=i*2;
}
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每次循环,i*2,离n更近一步,假设有x个2相乘后大于等于n,就会退出循环
于是由2^x=n得到x=Log2n,所以这个程序的时间复杂的为O(logn)。
n++;
function(n);
for(i=0;i<n;i++){
function(n);
}
for(i=0;i<n;i++){
for(j=i;j<n;j++){
System.out.println(j);
}
}
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上述代码的时间复杂度为O(n^2);
常见的时间复杂度
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)
< O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(n^n)
所以说,算法分析中,我们查找一个有n个随机数数组中的某个数字,最好的情况是第一个数字就是,那么时间复杂度就是O(1),但也有可能在这最后一个位置,就是O(n)。
平均运行时间是期望的运行时间,最坏运行时间是一种保证。在应用中,这是一种最重要的需求,通常除非特别指定,我们提到的运行时间都是指最坏情况的运行时间