“剑气纵横三万里,一剑光寒十九洲”
目录
一、本章重点
- 介绍树的概念
- 介绍二叉树的概念
- 掌握递归核心要义
- 二叉树的oj题与详解
二、树
2.1树的概念
树是n个结点的有限集合T。当n=0时,称为空树;当n>0时,该集合满足如下条件:
①其中必有一个称为根(root)的结点,它没有直接前驱,但有0个或多个直接后继。
②其余n-1个结点可以划分成m(m>=0)互不相交的有限集T1,T2,T3,...Tm,其中Ti又是一棵树,称为根的子树。每棵子树的根节点有且仅有一个直接前驱,但有0个或多个直接后继。
(树是以递归的形式定义的)
下图为一棵树的逻辑结构图示,类似一棵倒长的树:
注:没有节点的树也是树,被称作空树,只有一个节点的树也是树。
测试一:
下列是树还是非树?
答:不是树,不满足这一条件:每棵子树的根节点有且仅有一个直接前驱,即不能成环。
比如G的直接前驱有两个分别是A和D,所以该结构不是树。
2.2关于树的基本知识
以该树为例
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;如上图:A的为3.。
叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:K、L、F、G、M、I、J.节点都是叶节点。
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点、C是G的父节点。孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点、G是C的孩子节点。
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点,E和G这种表兄弟不算兄弟节点。
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为3.
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推。
树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4。
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先。
三、二叉树
3.1二叉树的概念
概念:一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合或者为空,或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
特点:
1. 每个结点最多有两棵子树,即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分,其子树的次序不能颠倒。
以下就是一个普通二叉树
3.2特殊的二叉树
3.2.1满二叉树
概念:满二叉树是一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉
树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是(2^k) -1 ,则它就是满二叉树。
3.2.2完全二叉树
3.3二叉树的性质
二叉树的性质
1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点。
2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1。
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0=n2+1。
4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=Log2(N+1)。
3.4二叉树性质相关选择题练习
1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
A n
B n+1
C n-1
D n/2
解析:
1:选B.根据上述性质3,n0=n2+1=200.即叶子节点的个数为200(叶子节点是度为0的节点)
2:选A。二叉树只有0度、1度、2度节点,所以n2+n1+n0=2*n
又因为n0=n2+1,所以2*n0+n1-1=2*n
因为该树是完全二叉树,所以n1只能为0或者1.
当n1为0时,n0为小数,该情况省略、
所以n1等于1,因此n0等于n。
3.5二叉树链式结构的实现
3.5.1二叉树链式结构的遍历
所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线,依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访
问结点所做的操作依赖于具体的应用问 题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一,是二叉树上进行
其它运算之基础。
遍历方式
1. NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. LNR:中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中间。
3. LRN:后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
由于被访问的结点必是某子树的根,所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。4.层序遍历:层序遍历:除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
层序遍历图:
练习:请写出下面的前序/中序/后序/层序遍历
前序遍历:
A->B->D->NULL->NULL->E->H->NULL->NULL->I->NULL->NULL->C->F->NULL->NULL->G
->NULL->NULL
中序遍历:
NULL->D->NULL->B->NULL->H->NULL->E->NULL->I->NULL->A->NULL->F->NULL->C->NULL
->G->NULL
后续遍历:
NULL->NULL->D->NULL->NULL->H->NULL->NULL->I->E->B-NULL->NULL->F->NULL->NULL
->G->C->A
层序遍历:A->B->C->D->E->F->G->NULL->NULL->H->I->NULL->NULL->NULL->NULL
3.5.2选择题训练
1.某完全二叉树按层次输出(同一层从左到右)的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为(
)
A ABDHECFG
B ABCDEFGH
C HDBEAFCG
D HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下:先序遍历:EFHIGJK;中序遍历:HFIEJKG.则二叉树根结点为
()
A E
B F
C G
D H
3.设一课二叉树的中序遍历序列:badce,后序遍历序列:bdeca,则二叉树前序遍历序列为____。
A adbce
B decab
C debac
D abcde
1.A
解析:通过层序遍历可画出二叉树的结构,根据二叉树的结构可得到前序序列。
2.A
解析:根据先序遍历可得到E是根。
3.D
解析:根据后序遍历可得到二叉树的根是a,后续遍历得到b是左子树,dce是右子树。可画出二叉树的结构,然后得到先序遍历序列。
四、递归
4.1递归的概念
递归概念:递归,即函数在运行的过程中调用自己。
构成递归需具备的条件:
1. 子问题须与原始问题为同样的事,且更为简单;
2. 不能无限制地调用本身,须有个出口,化简为非递归状况处理。
4.2递归的核心要义
将一个问题分成若干个相同的子问题,将大问题交给子问题去做,子问题交给子子问题去做.......最后被安排完成任务的即为递归的出口。
以斐波那契数列为例:
我们要求斐波那契数列第n个数的值
化简为求n-1和n-2的值
再把求n-1和n-2的值化简为求n-2和n-3和n-3和n-4的值
..........
这就是将n化简为若干个相同的子问题,这个子问题就是:它们都需要求前两个数的值。
一直递归到n==1,此时返回1或者递归到n==0,返回1.这就是递归的出口,也是最后被安排完成任务的语句。
4.3如何写一个递归?
三步走:
- 将问题化简为若干个相同的子问题。
- 写出递归的出口
- 调用函数自己,
以下是实现斐波那契数列的递归写法
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
int fabonacci(int n)
{
if (n < 3)//递归出口
{
return 1;
}
return fabonacci(n - 1) + fabonacci(n - 2);//根据函数功能实现函数
}
int main()
{
//1 1 2 3 5 8 13
int n = 7;
printf("%d\n", fabonacci(n));
return 0;
}
五、二叉树常见OJ题练习
5.1二叉树的前序遍历(力扣)
给你二叉树的根节点
root
,返回它节点值的 前序 遍历
输入:root = [1,null,2,3] 输出:[1,2,3]要实现的接口:
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) { }
思路:在堆区申请一块空间,用来存放节点值,再用递归思想,将节点1先放进堆区空间,再将它的左子树放入空间,再放入它的右子树。
递归写法:
先写递归出口:
if(root==NULL)
{
return;
}
再放入根节点
ret[*returnSize]=root->val;
*returnSize=(*returnSize)+1;
最后需要遍历剩下的左子树和右子树,这是我们需要一个函数解决剩下遍历问题,而解决这个问题的函数就是我们写的函数本身,即调用函数本身即可。
还有一个问题是我们在堆区该开辟多大的空间,这里我用递归求了该二叉树的节点个数
三步写递归
1.将问题化为若干个小问题,每个树都需满足:树的节点个数==1+左子树的节点个数+右子树的节点个数。
2.写递归出口:如果该树为空,返回0。
3.调用函数自己。
int size(struct TreeNode* root)
{
return root==NULL?0:1+size(root->left)+size(root->right);
}
void traversal(struct TreeNode* root,int* returnSize,int* ret)
{
if(root==NULL)
{
return;
}
ret[*returnSize]=root->val;
*returnSize=(*returnSize)+1;
traversal(root->left,returnSize,ret);
traversal(root->right,returnSize,ret);
}
int size(struct TreeNode* root)
{
return root==NULL?0:1+size(root->left)+size(root->right);
}
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize)
{
int s=size(root);
*returnSize=0;
int* ret=malloc(sizeof(int)*s);
traversal(root,returnSize,ret);
return ret;
}
5.2二叉树的最大深度(力扣)
给定一个二叉树,找出其最大深度。
二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。
说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。
示例:
给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7],3 / \ 9 20 / \ 15 7 返回它的最大深度 3 。
思路:直接递归
三步走:
1.将问题化为若干个相同的小问题,每个树都需满足:最大深度==1+(左子树的高度>右子树的高度?左子树的高度:右子树的高度)。
2.递归出口,当节点的地址为空时,返回0。
3.调用函数自己。
int maxDepth(struct TreeNode* root)
{
if(root==NULL)
{
return 0;
}
return 1+fmax(maxDepth(root->left),maxDepth(root->right));
}
5.3平衡二叉树(力扣)
给定一个二叉树,判断它是否是高度平衡的二叉树。
本题中,一棵高度平衡二叉树定义为:
一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。
输入:root = [3,9,20,null,null,15,7] 输出:true
思路:直接递归
三步走:
1.将问题化为若干个相同的小问题,每棵树都需满足:根节点满足平衡树的条件 && 左子树是棵平衡树 && 右子树是棵平衡树。
2.递归出口,当节点的地址为空时,返回true。
3.调用函数自己。
int height(struct TreeNode* root)
{
if(root==NULL)
{
return 0;
}
return 1+fmax(height(root->left),height(root->right));
}
bool isBalanced(struct TreeNode* root)
{
if(root==NULL)
{
return true;
}
return abs(height(root->left)-height(root->right))<=1 &&
isBalanced(root->left) &&
isBalanced(root->right);
}
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