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大致题意
给定一棵有 n n n个节点的树, 有 m m m次如下操作:
0 a b c 表示在 ( a , b ) (a, b) (a,b)的最短路径上增加一条重要度为 c c c的边.
1 t 表示删除第 t t t次操作所增加的边
2 x 表示节点 x x x出现故障. 此时需要回答, 所有不经过 x x x节点的边中最大的重要度.
解题思路
整体二分
我们考虑到二分答案, 假设当前二分值为 m i d mid mid, 我们把所有 a l l all all条 ≥ m i d \ge mid ≥mid的边加入, 判断对于 x x x节点而言, 此时经过的边数 n u m num num与 a l l all all的关系.
如果 n u m = = a l l num == all num==all 此时答案出现在 [ l , m i d − 1 ] [l, mid - 1] [l,mid−1], 否则答案在 [ m i d , r ] [mid, r] [mid,r].
我们考虑如何统计经过某个节点的所有边:
比较直观的方法是, 我们可以通过树链剖分来对于 ( a , b ) (a, b) (a,b)路径进行修改. 此时修改复杂度为 O ( l o g 2 n ) O(log^2n) O(log2n).
当然我们也可以通过树上差分的思路来维护, 查询时, 经过 x x x节点的总边数应当是 x x x所在子树的区间和. 此时修改复杂度为 O ( l o g n ) O(logn) O(logn).
于是我们可以通过整体二分 + 树上差分的思路, 做到 O ( m l o g 2 n ) O(mlog^2n) O(mlog2n)的复杂度.
AC代码
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1E5 + 10, M = 2E5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
/* 离散化模版 */
vector<int> v(1, -1);
int find(int x) {
return lower_bound(v.begin(), v.end(), x) - v.begin(); }
void discrete() {
sort(v.begin(), v.end()); v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end()); }
vector<int> edge[N];
/* 树链剖分求lca模板 */
int p[N], dep[N], sz[N], son[N];
void dfs1(int x = 1, int fa = 0) {
p[x] = fa, dep[x] = dep[fa] + 1, sz[x] = 1; // son[x] = 0;
for (auto& to : edge[x]) {
if (to == fa) continue;
dfs1(to, x);
sz[x] += sz[to];
if (sz[to] > sz[son[x]]) son[x] = to;
}
}
int id[N], top[N], ind;
void dfs2(int x = 1, int tp = 1) {
id[x] = ++ind, top[x] = tp;
if (!son[x]) return;
dfs2(son[x], tp);
for (auto& to : edge[x]) {
if (to == p[x] or to == son[x]) continue;
dfs2(to, to);
}
}
int lca(int a, int b) {
while (top[a] != top[b]) {
if (dep[top[a]] < dep[top[b]]) swap(a, b);
a = p[top[a]];
}
return id[a] < id[b] ? a : b;
}
/* 树状数组模版 */
struct BIT {
int t[N];
static int lowbit(int x) {
return x & -x; }
void add(int x, int c) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) t[i] += c; }
void modify(int a, int b, int c) {
int lca = ::lca(a, b), plca = p[lca];
add(id[a], c), add(id[b], c);
add(id[lca], -c);
if (id[plca]) add(id[plca], -c);
}
int ask(int x) {
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += t[i];
return res;
}
int ask(int l, int r) {
return ask(r) - ask(l - 1); }
}bit;
struct operation {
int tp, a, b, v, id;
// 0 a b v NULL
// 1 a b v NULL
// 2 x id
}; vector<operation> area;
int res[M];
void fact(int l, int r, vector<operation>& q) {
if (q.empty()) return;
if (l == r) {
for (auto& op : q) if (op.id) res[op.id] = v[l];
return;
}
int mid = l + r >> 1;
vector<operation> ql, qr;
int all = 0;
for (auto& op : q) {
if (op.tp == 2) {
int cou = bit.ask(id[op.a], id[op.a] + sz[op.a] - 1);
if (cou == all) ql.push_back(op);
else qr.push_back(op);
}
else {
if (op.v > mid) {
int flag = !op.tp ? 1 : -1; all += flag;
bit.modify(op.a, op.b, flag);
qr.push_back(op);
}
else ql.push_back(op);
}
}
for (auto& op : qr) {
if (op.tp != 2) {
int flag = !op.tp ? 1 : -1; all += flag;
all -= flag;
bit.modify(op.a, op.b, -flag);
}
}
fact(l, mid, ql), fact(mid + 1, r, qr);
}
int main()
{
cin >> n >> m;
rep(i, n - 1) {
int a, b; scanf("%d %d", &a, &b);
edge[a].push_back(b), edge[b].push_back(a);
}
dfs1(), dfs2();
rep(i, m) {
int tp; scanf("%d", &tp);
if (!tp) {
int a, b, val; scanf("%d %d %d", &a, &b, &val);
area.push_back({
0, a, b, val, NULL });
v.push_back(val);
res[i] = INF;
}
else if (tp == 1) {
int x; scanf("%d", &x);
area.push_back(area[x - 1]);
area.back().tp = 1;
res[i] = INF;
}
else {
int x; scanf("%d", &x);
area.push_back({
2, x, NULL, NULL, i });
}
}
discrete();
for (auto& op : area) if (op.tp != 2) op.v = find(op.v);
fact(0, v.size() - 1, area);
rep(i, m) if (res[i] != INF) printf("%d\n", res[i]);
return 0;
}