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题目描述
这是 LeetCode 上的 902. 最大为 N 的数字组合 ,难度为 困难。
Tag : 「动态规划」、「二分」、「数位 DP」
给定一个按 非递减顺序 排列的数字数组 digits
。你可以用任意次数
来写的数字。例如,如果
,我们可以写数字,如 '13'
, '551'
, 和 '1351315'
。
返回 可以生成的小于或等于给定整数 的正整数的个数 。
示例 1:
输入:digits = ["1","3","5","7"], n = 100
输出:20
解释:
可写出的 20 个数字是:
1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.
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示例 2:
输入:digits = ["1","4","9"], n = 1000000000
输出:29523
解释:
我们可以写 3 个一位数字,9 个两位数字,27 个三位数字,
81 个四位数字,243 个五位数字,729 个六位数字,
2187 个七位数字,6561 个八位数字和 19683 个九位数字。
总共,可以使用D中的数字写出 29523 个整数。
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示例 3:
输入:digits = ["7"], n = 8
输出:1
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提示:
-
是从
'1'
到'9'
的数 digits
中的所有值都 不同digits
按 非递减顺序 排列
数位 DP + 二分
这是一道「数位 DP」的经典运用题。
由于题目给定的 digits
不包含
,因此相当于只需要回答使用 digits
的数值能够覆盖
范围内的多少个数字。
起始先将字符串数组 digits
转为数字数组 nums
,假定 nums
的长度为
,然后考虑如何求得
范围内合法数字的个数。
假定我们存在函数 int dp(int x)
函数,能够返回区间
内合法数的个数,那么配合「容斥原理」我们便能够回答任意区间合法数的查询:
对于本题,查询区间的左端点固定为 ,同时 ,因此答案为 。
然后考虑如何实现 int dp(int x)
函数,我们将组成
的合法数分成三类:
- 位数和
相同,且最高位比
最高位要小的,这部分统计为
res1
; - 位数和
相同,且最高位与
最高位相同的,这部分统计为
res2
; - 位数比
少,这部分统计为
res3
。
其中 res1
和 res3
求解相对简单,重点落在如何求解 res2
上。
对
进行「从高到低」的处理(假定
数位为
),对于第
位而言(
不为最高位),假设在
中第
位为
,那么为了满足「大小限制」关系,我们只能在
范围内取数,同时为了满足「数字只能取自 nums
」的限制,因此我们可以利用 nums
本身有序,对其进行二分,找到满足 nums[mid] <= cur
的最大下标
,根据
与
的关系进行分情况讨论:
- : 此时位置 共有 种选择,而后面的每个位置由于 可以使用多次,每个位置都有 种选择,共有 个位置,因此该分支往后共有 种合法方案。且由于 ,往后还有分支可决策(需要统计),因此需要继续处理;
-
:此时算上
,位置
共有
种选择,而后面的每个位置由于
可以使用多次,每个位置都有
种选择,共有
个位置,因此该分支共有
种合法方案,由于
,往后的方案数(均满足小于关系)已经在这次被统计完成,累加后进行
break
; -
:该分支往后不再满足「大小限制」要求,合法方案数为
,直接
break
。
其他细节:实际上,我们可以将 res1
和 res2
两种情况进行合并处理。
代码:
class Solution {
int[] nums;
int dp(int x) {
List<Integer> list = new ArrayList<>();
while (x != 0) {
list.add(x % 10);
x /= 10;
}
int n = list.size(), m = nums.length, ans = 0;
// 位数和 x 相同
for (int i = n - 1, p = 1; i >= 0; i--, p++) {
int cur = list.get(i);
int l = 0, r = m - 1;
while (l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (nums[mid] <= cur) l = mid;
else r = mid - 1;
}
if (nums[r] > cur) {
break;
} else if (nums[r] == cur) {
ans += r * (int) Math.pow(m, (n - p));
if (i == 0) ans++;
} else if (nums[r] < cur) {
ans += (r + 1) * (int) Math.pow(m, (n - p));
break;
}
}
// 位数比 x 少的
for (int i = 1, last = 1; i < n; i++) {
int cur = last * m;
ans += cur; last = cur;
}
return ans;
}
public int atMostNGivenDigitSet(String[] digits, int max) {
int n = digits.length;
nums = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) nums[i] = Integer.parseInt(digits[i]);
return dp(max);
}
}
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- 时间复杂度:由于
digits
最多存在 个元素,因此二分的复杂度可以忽略,整体复杂度为 - 空间复杂度:
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.902
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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