树概念
树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的** 特点**:
1: 有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点.
2: 除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm,其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继.
3: 树是递归定义的。
大概就是这种:
一些重要的概念:
结点的度: 一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6
树的度: 一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6
叶子结点或终端结点: 度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点: 若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点
孩子结点或子结点: 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点
根结点: 一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A
结点的层次: 从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推
树的高度或深度: 树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4
树的以下概念只需了解,在看书时只要知道是什么意思即可:
非终端结点或分支结点: 度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点: 具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点
堂兄弟结点: 双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点
结点的祖先: 从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先
子孙: 以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙
森林: 由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林
二叉树概念(重点)
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
- 或者为空
- 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出:
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
**注意:**对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:
两种特殊的二叉树
1. 满二叉树: 一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整
- 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i
的结点有:
若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子
二叉树三种遍历
这三种遍历是最基本的,必须掌握!
先给一颗二叉树
流程基本就是这样
二叉树的基本操作
这里才是本博客的重点,搞懂代码才算搞懂二叉树:
这是我们要模拟实现的二叉树的功能,这些搞懂了,二叉树就差不多入门了
// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);
我们这里用的是枚举法创建二叉树,并不是正确的创建方法,但是为了方便我们理解,先这样用一下.
class TreeNode {
//定义节点
public char val; //节点值
public TreeNode left;//左孩子的引用
public TreeNode right;//右孩子的引用
public TreeNode(char val) {
//构造方法
this.val = val;
}
}
public class BinaryTree {
//public BTNode root;//二叉树的根节点
/**
* 这种方式 是穷举的方式创建的
* 但是 这样写不行 太low了。
*
* @return
*/
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
}
接下来我们模拟实现一下三种遍历:
前序遍历:
public void preOrder(TreeNode root) {
if(root == null) {
//判断根节点为不为空
return;
}
System.out.print(root.val+" "); //打印节点
preOrder(root.left); //进入左子树
preOrder(root.right); //进入右子树
}
接下来的中序遍历和后序遍历都大同小异了:
中序遍历:
public void inOrder(TreeNode root) {
if(root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
后序遍历:
public void postOrder(TreeNode root) {
if(root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val+" ");
}
测试一下刚刚的遍历:
public class TestDemo {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.print("前序遍历: ");
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("中序遍历: ");
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("后序遍历: ");
binaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
}
}
有了刚刚的遍历思维,我们现在再来实现一些二叉树的基本功能:
获取树中节点个数
//获取树中节点个数
int count = 0; //记录根节点个数
public int size(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
count++; //借用前序遍历思想,遇到根节点就加一
size(root.left); //递归左子树
size(root.right);//递归右子树
return count; //返回根节点
}
public class TestDemo {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.print("前序遍历: ");
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("中序遍历: ");
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("后序遍历: ");
binaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
int ret = binaryTree.size(root);
System.out.println("树中节点个数为: "+ret);
}
}
我们这里还有一种思维方式,子问题思路:想到所有节点个数就是根节点 + 左子树节点 + 右子树节点.
/**
* 子问题思路
* @param root
* @return
*/
public int size1(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
return size(root.left) + size(root.right) + 1; //递归左子树节点 + 右子树节点 + 根节点
}
获取叶子节点个数
/**
* 获取叶子节点的个数
* 遍历思路:
*/
int leafCount = 0; //记录叶子节点个数
public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
if(root.left == null && root.right == null) {
//知道叶子节点左子树和右子树都为空
leafCount ++;
}
getLeafNodeCount(root.left); //递归左子树
getLeafNodeCount(root.right); //递归右子树
return leafCount;
}
public class TestDemo {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.print("前序遍历: ");
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("中序遍历: ");
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("后序遍历: ");
binaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
int ret = binaryTree.size(root);
System.out.println("树中节点个数为: "+ret);
System.out.println(binaryTree.size1(root));
int ret2 = binaryTree.getLeafNodeCount(root);
System.out.println("叶子节点个数为: "+ret2);
}
}
一样的,我们这里也用子问题思维
/**
* 获取叶子节点的个数
* 子问题思路
* @param root
* @return
*/
public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
if(root.left == null && root.right == null) {
//当前的root是叶子节点
return 1;
}
return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
}
获取第k层节点的个数
/**
* 获取第K层节点的个数
* 子问题思路:
*
*/
public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
//获取第k层节点
if(root == null || k <= 0) {
return 0;
}
if(k == 1) {
//处于当层节点
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1); //左子树当层节点 + 右子树当层节点
}
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.print("前序遍历: ");
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("中序遍历: ");
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("后序遍历: ");
binaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
int ret = binaryTree.size(root);
System.out.println("树中节点个数为: "+ret);
System.out.println(binaryTree.size1(root));
int ret2 = binaryTree.getLeafNodeCount(root);
System.out.println("叶子节点个数为: "+ret2);
int ret3 = binaryTree.getLeafNodeCount2(root);
System.out.println(ret3);
int ret4 = binaryTree.getKLevelNodeCount(root,3);
System.out.println("第三层节点个数为: "+ret4);
}
}
获取二叉树的高度
/**
* 获取二叉树的高度
* 时间复杂度:O(n)
* 空间复杂度:O()
*/
public int getHeight(TreeNode root) {
if(root == null) return 0;
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1; //精髓就是后面的加一,每次递归满足条件就加一,最后返回的就是高的那颗子树
}
public class TestDemo {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.print("前序遍历: ");
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("中序遍历: ");
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("后序遍历: ");
binaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
int ret = binaryTree.size(root);
System.out.println("树中节点个数为: "+ret);
System.out.println(binaryTree.size1(root));
int ret2 = binaryTree.getLeafNodeCount(root);
System.out.println("叶子节点个数为: "+ret2);
int ret3 = binaryTree.getLeafNodeCount2(root);
System.out.println(ret3);
int ret4 = binaryTree.getKLevelNodeCount(root,3);
System.out.println("第三层节点个数为: "+ret4);
int ret5 = binaryTree.getHeight(root);
System.out.println("二叉树的高度为: "+ret5);
}
}
子问题思维我感觉相对简单些
public int getHeight2(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
return Math.max(getHeight2(root.left),getHeight(root.right)) + 1; //精髓还是在那个加一,每次取较大值后加一,最后返回的就是树的高度
}
检测为value的元素是否存在
/**
* 检测值为value的元素是否存在
*/
public TreeNode find(TreeNode root, char value) {
if(root == null) return null;
if(root.val == value) return root; //检测根节点是不是指定的元素
TreeNode ret = find(root.left,value); //遍历左子树检测
if(ret != null) {
return ret;
}
ret = find(root.right,value); //遍历右子树检测
if(ret != null) {
return ret;
}
return null; //没有
}
public class TestDemo {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.print("前序遍历: ");
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("中序遍历: ");
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("后序遍历: ");
binaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
int ret = binaryTree.size(root);
System.out.println("树中节点个数为: "+ret);
System.out.println(binaryTree.size1(root));
int ret2 = binaryTree.getLeafNodeCount(root);
System.out.println("叶子节点个数为: "+ret2);
int ret3 = binaryTree.getLeafNodeCount2(root);
System.out.println(ret3);
int ret4 = binaryTree.getKLevelNodeCount(root,3);
System.out.println("第三层节点个数为: "+ret4);
int ret5 = binaryTree.getHeight(root);
System.out.println("二叉树的高度为: "+ret5);
int ret6 = binaryTree.getHeight2(root);
System.out.println(ret6);
System.out.print("判断H值是否存在,存在,返回其引用");
System.out.println(binaryTree.find(root,'H'));
try {
System.out.println(binaryTree.find(root, 'H').val);
}catch(NullPointerException e){
e.printStackTrace();
System.out.println("指定元素不存在,空指针异常了!");
}
}
}
判断一棵树是不是完全二叉树
这个题用队列做就简单一些了
/**
* 是不是完全二叉树
* @param root
* @return
*/
boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
if(root == null) return true;//空树也是完全二叉树
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>(); //创建队列(先进先出)
queue.offer(root); //先入根节点
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll(); //出队
if(cur != null) {
//不为null,就将对应的左右子树入队
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
}else {
//出队元素为null
break;
}
}
while (!queue.isEmpty()) {
//开始判断二叉树是否为完全二叉树
TreeNode top = queue.peek();
if(top != null) {
//如果此队列里还有不为null的节点,说明这颗二叉树不是完全二叉树
return false;
}
queue.poll();
}
return true; //走到了这里,说明他是一颗完全二叉树
}
这是我们创建的二叉树
此时他不是一颗完全二叉树
public class TestDemo {
public static void main(String[] args) {
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
TreeNode root = binaryTree.createTree();
System.out.print("前序遍历: ");
binaryTree.preOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("中序遍历: ");
binaryTree.inOrder(root);
System.out.println();
System.out.print("后序遍历: ");
binaryTree.postOrder(root);
System.out.println();
int ret = binaryTree.size(root);
System.out.println("树中节点个数为: "+ret);
System.out.println(binaryTree.size1(root));
int ret2 = binaryTree.getLeafNodeCount(root);
System.out.println("叶子节点个数为: "+ret2);
int ret3 = binaryTree.getLeafNodeCount2(root);
System.out.println(ret3);
int ret4 = binaryTree.getKLevelNodeCount(root,3);
System.out.println("第三层节点个数为: "+ret4);
int ret5 = binaryTree.getHeight(root);
System.out.println("二叉树的高度为: "+ret5);
int ret6 = binaryTree.getHeight2(root);
System.out.println(ret6);
System.out.print("判断H值是否存在,存在,返回其引用");
System.out.println(binaryTree.find(root,'H'));
try {
System.out.println(binaryTree.find(root, 'H').val);
}catch(NullPointerException e){
e.printStackTrace();
System.out.println("指定元素不存在,空指针异常了!");
}
boolean flag = binaryTree.isCompleteTree(root);
System.out.println(flag);
}
}
这时我们屏蔽掉H
就可以判断他是一颗完全二叉树了.
各位,代码可以保存复习备用!!