前言
给定两个整数 a a a和 b b b，存在整数 d d d，使得 d ∣ a d|a d∣a并且 d ∣ b d|b d∣b。即 d d d同时整除 a a a和 b b b，我们把 d d d叫做 a a a和 b b b的公因数，满足条件的 d d d的最大值，叫做 a a a和 b b b的最大公因数（GCD）。
通过辗转相除法或者错位相减法，可以在多项式时间内求出 a a a和 b b b的最大公因数。
现在，我们考虑， a a a和 b b b在传输的过程中出现了一些小错误。得到 a ′ = a + e 1 a^\prime=a+e_1 a′=a+e1和 b ′ = b + e 2 b^\prime=b+e_2 b′=b+e2，那么是否可以在多项式时间内求出 d d d。这就是站在解码的角度的近似公因数问题。
定义
论文：《Approximate Integer Common Divisors》中仔细讨论了这个问题。
更加正式的描述如下：
给定两个整数 a 0 a_0 a0和 b 0 b_0 b0，参数 X , Y , M X,Y,M X,Y,M。近似公因数问题是寻找这样一个或者所有的 d > M d>M d>M，使得 d ∣ ( a 0 + x 0 ) d|(a_0+x_0) d∣(a0+x0)和 d ∣ b 0 + y 0 d|b_0+y_0 d∣b0+y0 ，其中 ∣ x 0 ∣ ≠ X |x_0| \neq X ∣x0∣=X， ∣ y 0 ∣ ≠ Y |y_0| \neq Y ∣y0∣=Y。
不妨设 X ≥ Y X \geq Y X≥Y，如果 Y = 0 Y=0 Y=0，那么问题叫做部分近似公因数问题（Partially Approximate Common Divisor Problem，PACDP）；如果 Y > 0 Y>0 Y>0那么叫做一般的近似公因数问题（General Approximate Common Divisor Problem，GACDP）。
应用
解决该问题的算法，可以用来设计纠错码。由于问题本身是一个困难的问题，所以也有基于该问题设计的密码算法。