今天我们来讲一下set和map 的使用以及其底层原理(包括AVL树,红黑树等),最后我们自己实现一个简单的set和map.
阅读指南:
- 入门 set/map 的同学 ,建议全篇阅读
- 熟练使用set/map 相关接口的同学 可以直通 【4. 底层结构】
- 熟悉set/map 的底层的同学,可以直通 【5. set和map 的模拟实现】
- 欢迎指正与交流讨论!
目录
1. 关联式容器
在初阶阶段,我们已经接触过STL中的部分容器,比如:vector、list、dequeforward_list(C++11)等,这些容器统称为序列式容器,因为其底层为线性序列的数据结构,里面存储的是元素本身。那什么是关联式容器?它与序列式容器有什么区别?
关联式容器也是用来存储数据的,与序列式容器不同的是,其里面存储的是**<key, value>结构的键值对**,在数据检索时比序列式容器效率更高。主要使用insert和earse.
2. 键值对
2.1 键值对的概念
用来表示具有一一对应关系的一种结构,该结构中一般只包含两个成员变量key和value,key代表键值,value表示与key对应的信息。
比如:现在要建立一个英汉互译的字典,那该字典中必然有英文单词与其对应的中文含义,而且,英文单词与其中文含义是一一对应的关系,即通过该应该单词,在词典中就可以找到与其对应的中文含义。
2.2 pair
在stl 中我们使用结构体pair来存储键值对,其中存储了first和second 两个值,分别代表key,value。
其定义是:
template <class T1, class T2>
struct pair
{
typedef T1 first_type;
typedef T2 second_type;
T1 first;
T2 second;
pair(): first(T1()), second(T2())
{
}
pair(const T1& a, const T2& b): first(a), second(b)
{
}
};
3. 树形结构的关联式容器
根据应用场景的不桶,STL总共实现了两种不同结构的管理式容器:树型结构与哈希结构。树型结构的关联式容器主要有四种:map、set、multimap、multiset。这四种容器的共同点是:使用平衡搜索树(即红黑树)作为其底层结果,容器中的元素是一个有序的序列。下面一依次介绍每一个容器.
3.1 set
3.1.1 set 简介
- set是按照一定次序存储元素的容器
- 在set中,元素的value也标识它(value就是key,类型为T),并且每个value必须是唯一的。set中的元素不能在容器中修改(元素总是const),但是可以从容器中插入或删除它们。
- 在内部,set中的元素总是按照其内部比较对象(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
- set容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_set容器慢,但它们允许根据顺序对子集进行直接迭代。
- set在底层是用二叉搜索树(红黑树)实现的。
注意:
- 与map/multimap不同,map/multimap中存储的是真正的键值对<key, value>,set中只放value,但在底层实际存放的是由<value, value>构成的键值对。
- set中插入元素时,只需要插入value即可,不需要构造键值对。
- set中的元素不可以重复(因此可以使用set进行去重)。
- 使用set的迭代器遍历set中的元素,可以得到有序序列
- set中的元素默认按照小于来比较
- set中查找某个元素,时间复杂度为:log2 N
- set中的元素不允许修改(为什么?)
- set中的底层使用二叉搜索树(红黑树)来实现。
3.1.2 set 的使用
3.1.2.1 set的模板参数列表
T: set中存放元素的类型,实际上在底层存储<value,vaslue>的键值对。
Compare: set中元素默认按照小于来比较
Alloc:set中元素空间的管理方式,使用STL提供的空间配置管理
3.1.2.2 set的构造函数
函数声明 | 功能介绍 |
---|---|
set(const Compare& comp=Compare(),const Allocator&=Allocator()) | 构造空的set |
set(Inputlterator first,Inputlterator last,const Compare& comp=Compare(),const Allocator& = Allocator() )); | 用[first, last)区间 |
set ( const set<Key,Compare,Allocator>& x); | set的拷贝构造 |
3.1.2.3 set的迭代器
函数声明 | 功能介绍 |
---|---|
Iterator begin() | 返回set中起始位置元素的迭代器 |
Iterator end() | 返回set中最后一个元素 |
const_iterator cbegin() const | 返回set中起始位置元素的const迭代器 |
const_iterator cend() const | 返回set中最后一个元素后面的const迭代器 |
reverse_iterator rbegin() | 返回set第一个元素的反向迭代器,即end |
reverse_iterator rend() | 返回set最后一个元素下一个位置的反向迭代器,即rbegin |
const_reverse_iterator crbegin() const | 返回set第一个元素的反向const迭代器,即cend |
const_reverse_iterator crend() const | 返回set最后一个元素下一个位置的反向const迭代器,即crbegin |
3.1.2.4 set 的容量
函数声明 | 功能介绍 |
---|---|
bool empty() const | 检测set是否为空,空返回true,否则返回true |
size_type size() const | 返回set中有效元素的个数 |
3.1.2.5 set修改操作
函数声明 | 功能介绍 |
---|---|
pair<iterator,bool> insert (const value_type& x ) | 在set中插入元素x,实际插入的是<x, x>构成的键值对,如果插入成功,返回<该元素在set中的位置,true>,如果插入失败,说明x在set中已经存在,返回<x在set中的位置,false> |
void erase ( iterator position ) | 删除set中position位置上的元素 |
void swap (set<Key,Compare,Allocator>&st ); | 交换set中的元素 |
void clear ( ) | 将set中的元素清空 |
iterator find ( const key_type& x ) const | 返回set中值为x的元素的位置 |
size_type count ( const key_type& x ) const | 返回set中值为x的元素的个数 |
3.1.2.6 使用举例
#include <set>
void TestSet()
{
// 用数组array中的元素构造set
int array[] = {
1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0, 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0 };
set<int> s(array, array+sizeof(array)/sizeof(array));
cout << s.size() << endl;
// 正向打印set中的元素,从打印结果中可以看出:set可去重
for (auto& e : s)
cout << e << " ";
cout << endl;
// 使用迭代器逆向打印set中的元素
for (auto it = s.rbegin(); it != s.rend(); ++it)
cout << *it << " ";
cout << endl;
// set中值为3的元素出现了几次
cout << s.count(3) << endl;
}
3.2 map
3.2.1 map简介
- map是关联容器,它按照特定的次序(按照key来比较)存储由键值key和值value组合而成的元素。
- 在map中,键值key通常用于排序和惟一地标识元素,而值value中存储与此键值key关联的内容。键值key和值value的类型可能不同,并且在map的内部,key与value通过成员类型value_type绑定在一起,为其取别名称为pair:typedef pair value_type;
- 在内部,map中的元素总是按照键值key进行比较排序的。
- map中通过键值访问单个元素的速度通常比unordered_map容器慢,但map允许根据顺序对元素进行直接迭代(即对map中的元素进行迭代时,可以得到一个有序的序列)。
- map支持下标访问符,即在[]中放入key,就可以找到与key对应的value。
- map通常被实现为二叉搜索树(更准确的说:平衡二叉搜索树(红黑树))。
3.2.2 map的使用
3.2.2.1 map的模板参数说明
key: 键值对中key的类型
T: 键值对中value的类型
Compare: 比较器的类型,map中的元素是按照key来比较的,缺省情况下按照小于来比较,一般情况下(内置类型元素)该参数不需要传递,如果无法比较时(自定义类型),需要用户自己显式传递比较规则(一般情况下按照函数指针或者仿函数来传递)
Alloc:通过空间配置器来申请底层空间,不需要用户传递,除非用户不想使用标准库提供的空间配置器
3.2.2.2 map 的构造函数
函数声明 | 功能介绍 |
---|---|
map() | 构造一个空的map |
3.2.2.3 map的迭代器
函数声明 | 功能介绍 |
---|---|
begin() 和 end() | begin:首元素的位置,end最后一个元素的下一个位置 |
cbegin()和cend() | 与begin和end意义相同,但cbegin和cend所指向的元素不能修改 |
rbegin()和rend() | 反向迭代器,rbegin在end位置,rend在begin位置,其++和–操作与begin和end操作移动相反 |
crbegin()和crend() | 与rbegin和rend位置相同,操作相同,但crbegin和crend所指向的元素不能修改 |
3.2.2.4 map 的容器与元素访问
函数声明 | 功能介绍 |
---|---|
bool empty ( ) const | 检测map中的元素是否为空,是返回true,否则返回false |
size_type size() const | 返回map中有效元素的个数 |
mapped_type& operator[] (const key_type& k) | 返回去key对应的value |
3.2.2.5 map 中元素的修改
函数声明 | 功能介绍 |
---|---|
pair<iterator,bool>insert(const value_type& x) | 在map中插入键值对x,注意x是一个键值对,返回值也是键值对:iterator代表新插入元素的位置,bool代表释放插入成功 |
void erase ( iterator position ) | 删除position位置上的元素 |
size_type erase ( const key_type& x ) | 删除键值为x的元素 |
void erase ( iterator first, iterator last ) | 删除[first, last)区间中的元素 |
void swap (map<Key,T,Compare,Allocator>&mp ) | 交换两个map中的元素 |
void clear ( ) | 将map中的元素清空 |
iterator find ( const key_type& x) | 在map中插入key为x的元素,找到返回该元素的位置的迭代器,否则返回end |
const_iterator find ( const key_type& x ) const | 在map中插入key为x的元素,找到返回该元素的位置的const迭代器,否则返回cend |
size_type count ( const key_type& x ) const | 返回key为x的键值在map中的个数,注意map中key是唯一的,因此该函数的返回值要么为0,要么为1,因此也可以用该函数来检测一个key是否在map中 |
3.2.2.6 使用举例
#include <string>
#include <map>
void TestMap()
{
map<string, string> m;
// 向map中插入元素的方式:
// 将键值对<"peach","桃子">插入map中,用pair直接来构造键值对
m.insert(pair<string, string>("peach", "桃子"));
// 将键值对<"peach","桃子">插入map中,用make_pair函数来构造键值对
m.insert(make_pair("banan", "香蕉"));
// 借用operator[]向map中插入元素
/*
operator[]的原理是:
用<key, T()>构造一个键值对,然后调用insert()函数将该键值对插入到map中
如果key已经存在,插入失败,insert函数返回该key所在位置的迭代器
如果key不存在,插入成功,insert函数返回新插入元素所在位置的迭代器
operator[]函数最后将insert返回值键值对中的value返回
*/
// 将<"apple", "">插入map中,插入成功,返回value的引用,将“苹果”赋值给该引用结果,
m["apple"] = "苹果";
// key不存在时抛异常
//m.at("waterme") = "水蜜桃";
cout << m.size() << endl;
// 用迭代器去遍历map中的元素,可以得到一个按照key排序的序列
for (auto& e : m)
cout << e.first << "--->" << e.second << endl;
cout << endl;
// map中的键值对key一定是唯一的,如果key存在将插入失败
auto ret = m.insert(make_pair("peach", "桃色"));
if (ret.second)
cout << "<peach, 桃色>不在map中, 已经插入" << endl;
else
cout << "键值为peach的元素已经存在:" << ret.first->first << "--->" <<
ret.first->second <<" 插入失败"<< endl;
// 删除key为"apple"的元素
m.erase("apple");
if (1 == m.count("apple"))
cout << "apple还在" << endl;
else
cout << "apple被吃了" << endl;
}
3.2.2.7 map对[ ]的重载原理
在map 中重载了[],但是其原理是比较复杂的。
在这之前,我们先来看一个小问题,统计单词出现次数
- 方法一
这道题有几种做法,我们最容易想到的方法就是使用查找方法,如果找到了,就对应单词数量加一,如果找不到,就插入新单词。
void test_map1()
{
string str[] = {
"sort","sort","tree","insert",
"sort","tree","sort","test" };
map<string, int> countMap; //pair 结构体
for (auto& e : str) {
auto ret = countMap.find(e);
if (ret != countMap.end()) {
//找到了
(*ret).second++;
//(ret->second)++;
}
else {
//没找到
countMap.insert(make_pair(e, 1));
//countMap.insert(pair<string ,int>(e, 1));
}
}
//打印测试
map<string, int>::iterator it1 = countMap.begin();
while (it1 != countMap.end()) {
cout << it1->first << ":" << it1->second << endl;
++it1;
}
cout << endl;
}
- 方法二
方法一的思路简单,但是其缺点在于我们插入新单词是要遍历两次map(查找+插入(也要查找空位)).
我们可以利用insert 的特性 来直接实现。
我们发现,insert的返回值很有意思: pair<iterator,bool>
如果 插入成功的话,我们会返回新插入元素的迭代器和true, 如果待插入值已存在(插入失败),那么我们会返回与插入值相等的值得迭代器 和 false。
void test_map2()
{
string str[] = {
"sort","sort","tree","insert",
"sort","tree","sort","test" };
map<string, int> countMap; //pair 结构体
for (auto& e : str) {
//不会允许插入值的冗余 返回类型: pair<iterator , bool>
pair<map<string, int>::iterator, bool> ret = countMap.insert(make_pair(e, 1));
//插入失败,表示e对应的字符串已经在map中了,++次数
if (ret.second == false) {
ret.first->second++;
}
}
map<string, int>::iterator it1 = countMap.begin();
while (it1 != countMap.end()) {
cout << it1->first << ":" << it1->second << endl;
++it1;
}
cout << endl;
}
- 方法三
其实上面两种方法都比较少用,我们可以直接使用 []来实现,相信很多同学多多少少是见过这种方法的,但是并不是很理解,这就是没有深入底层来探究的原因。
其中 key_value是 key的类型,mapped_type 是 value 的类型。
mapped_type& operator[] (const key_type& k){
(*((this->insert(make_pair(k,mapped_type()))).first)).second;
}
可以发现,官方文档给出的说明 “非常离谱”,但是并不是看不懂:
我们将函数拆解一下:
mapped_type& operator[] (const key_type& k){
pair<iterator,bool>ret = insert(make_pair(k,mapped_type());
return ret.first->second;
}
- k 在map 中,insert插入失败,因为k已经有了。insert返回的pair 会带出k在map中存储节点的迭代器,通过这个迭代器,我们可以拿到k对应的valueh值,进行返回。
- k不在map中,insert插入成功,插入的值是make_pair<k, value()> (value()是匿名构造对象),insert返回值会带出刚插入的k所在节点的迭代器,通过这个迭代器,我们可以拿到k对应的value值,进行返回。
总结 map 的operator特征:
- k不存在,插入默认构造函数生成缺省值的value的pair<K,V()>
- k存在,返回k对应的value值
- 不严谨的说,operator可以包含了 查找,修改,插入
void test_map3()
{
string str[] = {
"sort","sort","tree","insert",
"sort","tree","sort","test" };
map<string, int> countMap; //pair 结构体
for (auto& e : str) {
countMap[e]++;//[]已经被重载了,内部实现较复杂 重点
}
}
一些其他的测试:
void test_map4() {
map<string, string>dict;
dict.insert(make_pair("sort", "排序"));
dict["string"] = "字符串";//先插入pair("string"," "),再修改value
dict["map"]; //插入
dict["map"] = "地图,映射";//查找 + 修改
cout << dict["yort1"] << endl;
}
3.3 multiset
3.3.1 multiset简介
- multiset是按照特定顺序存储元素的容器,其中元素是可以重复的。
- 在multiset中,元素的value也会识别它(因为multiset中本身存储的就是<value, value>组成的键值对,因此value本身就是key,key就是value,类型为T). multiset元素的值不能在容器中进行修改(因为元素总是const的),但可以从容器中插入或删除。
- 在内部,multiset中的元素总是按照其内部比较规则(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
- multiset容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multiset容器慢,但当使用迭代器遍历时会得到一个有序序列。
- multiset底层结构为二叉搜索树(红黑树)。
注意:
- multiset中再底层中存储的是<value, value>的键值对
- mtltiset的插入接口中只需要插入即可
- 与set的区别是,multiset中的元素可以重复,set是中value是唯一的
- 使用迭代器对multiset中的元素进行遍历,可以得到有序的序列
- multiset中的元素不能修改
- 在multiset中找某个元素,时间复杂度为
- multiset的作用:可以对元素进行排序
3.3.2 multiset 的使用
multiset 的使用与set 相差不大,这里我们只提醒几点:
当使用 Find()查找的时候,在底层,找到该值之后,不能停止,而是要找中序的第一个该值。换句话说,找到该值之后,,要看该值的左孩子是不是该值,不是,则返回当前该值,如果是,则继续取左孩子的值,继续刚才的判断。
这么说有些同学可能还是将信将疑,我们来验证一下:
3.3.2 使用举例
此处只简单演示set与multiset的不同,其他接口接口与set相同。
#include <set>
void TestSet()
{
int array[] = {
2, 1, 3, 9, 6, 0, 5, 8, 4, 7 };
// 注意:multiset在底层实际存储的是<int, int>的键值对
multiset<int> s(array, array + sizeof(array)/sizeof(array[0]));
for (auto& e : s)
cout << e << " ";
cout << endl;
return 0;
}
3.4 multimap
3.4.1 简介
- Multimaps是关联式容器,它按照特定的顺序,存储由key和value映射成的键值对<key, value>,其中多个键值对之间的key是可以重复的。
- 在multimap中,通常按照key排序和惟一地标识元素,而映射的value存储与key关联的内容。key和value的类型可能不同,通过multimap内部的成员类型value_type组合在一起,value_type是组合key和value的键值对:typedef pair<const Key, T> value_type;
- 在内部,multimap中的元素总是通过其内部比较对象,按照指定的特定严格弱排序标准对key进行排序的。
- multimap通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multimap容器慢,但是使用迭代器直接遍历multimap中的元素可以得到关于key有序的序列。
- multimap在底层用二叉搜索树(红黑树)来实现。
注意:multimap和map的唯一不同就是:map中的key是唯一的,而multimap中key是可以重复的
3.4.2 multimap的使用
multimap中的接口可以参考map,功能都是类似的
注意:
- multimap中的key是可以重复的。
- multimap中的元素默认将key按照小于来比较
- multimap中没有重载operator[]操作
- 使用时与map包含的头文件相同
4. 底层结构
前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍,在其文档介绍中发现,这几个容器有个共同点是:其底层都是按照二叉搜索树来实现的,但是二叉搜索树有其自身的缺陷,假如往树中插入的元素有序或者接近有序,二叉搜索树就会退化成单支树,时间复杂度会退化成O(N),因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理,即采用平衡树来实现
4.1 AVL树
4.1.1 AVL树的概念
两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在 log2 N,搜索时间复杂度O(log2 N )。
4.1.2 AVL树的节点的定义
为了控制 树的平衡,我们需要添加一些参数:
- _parent 指向父亲节点的指针
- _bf 平衡因子(balance factor ),其值等于 右子树的高度 - 左子树的高度。
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv; //键值对
int _bf; //平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{
}
};
同时,我们也就可以写出AVLTree的基本结构:
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V>Node;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
{
}
private:
Node* _root;
};
4.1.3 AVL树的 插入
4.1.3.1 插入的思路
插入分为两步:
第一步与 二叉搜索树的插入完全相同,只需要将元素插入到合适的位置。
第二部调整树的结构,使其保持平衡,这一步骤叫做 AVL树的旋转。
//第一步
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_kv.first < kv.first) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < cur->_kv.first) {
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else {
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
4.1.3.2 AVL树的 旋转
平衡因子更新规则
我们根据平衡因子的值来判断AVL树的平衡是否被打破。一颗二叉树在插入之前(即平衡态),平衡因子的值一定是-1,0,1 中的一个。当我们插入之后,节点的平衡因子可能会改变。我们更具有平衡因子的值决定是否要旋转。
插入一个节点之后,对于这个新节点祖先都有可能会有影响,但是还需要更具体的分析:
- 插入更新的节点在父亲的左边,父亲平衡因子- -
- 插入更新的节点在父亲的右边,父亲平衡因子++
- 父亲的平衡因子更新之后,是1或者-1,说明父亲所在的子树高度变化了,需要继续往上更新
- 父亲的平衡因子更新之后,是0,说明父亲所在的子树高度不变,不需要继续往上更新
- 更新之后,更新到了根节点,就不需要再更新
- 更新之后,父亲的平衡因子是2或者-2,说明父亲所在的子树已经不平衡了,需要旋转,让他平衡
同学们可以根据文字 ,配合图片自己来体会一下:
我们先不管旋转的实现,先上面的不同情况写出代码:
while (parent) {
//更新平衡因子
if (cur == parent->_left) {
parent->_bf--;
}
else {
parent->_bf++;
}
//检查父亲的平衡因子
// 1. 父亲所在子树的高度不变,不影响先祖,更新结束
if (parent->_bf == 0) {
break;
} //2. 父亲所在子树的高度变了,影响先祖,继续往上更新
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}//3. 父亲所在的子树出现不平衡,需要旋转处理
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) {
//旋转
}//4. 出现异常错误
else {
assert(false);
}
}
AVL 树的旋转
旋转的本质是:在遵循搜索树的规则情况下,让左右均衡,并且降低整棵树的高度。
不平衡分为四种情况:
- 新节点插入较深左子树的左侧—左左:右单旋
一. 右旋的规则
此时,a这颗子树的高度变为h+1 ,就会引发右单旋。
根据上图,右单旋的具体操作:
- b子树变成60的左子树
- 60成为30的右子树,30成这棵树的根
二. 右旋的条件
同学第一次看上面的 抽象图 可能会很懵,在下面我们 会将上面的图 具体化出几个例子:(这里我还要强调一点:上面的图并不是说 60 一定是一棵树的根,60可以是根也可以是一棵树的一颗子树)
-
当h=0的时候
当h=0的时候,只存在如下一种情况,我们更新平衡因子,发现60 的平衡因子为-2 ,需要旋转
-
当h=1的时候
当h=1 的时候,我们的插入拥有两种选择,我们既可以插入在20的左边,也可以插入20的右边,但是在我们不断调整平衡因子之后,最后60的平衡因子都变成了-2,需要旋转。
-
当h=2的时候
当h=2的时候,其实情况已经变得比较复杂了,原因在于,h=2的子树有三种,而每个子树存在三个可连接点(下图中A,B,C),那么也就是说,在插入节点之前,我们就有3^3=27 种可能形态。
由于情况太多,这里我们只例举一种情况:
h更大的情况我就不写了,相信同学们也找到了一些规律,对于单右旋的条件有了一些体会:
结论:
- 从图上直观来说:子树a 与 30,60 呈现一条直线,且右边高,我们应该右单旋,加大右边深度
- 从代码角度来说:30的平衡因子为-1, 60的平衡因子为-2,我们应该右单旋。
对于右旋,感性理解,就是右边太高了,我们得把右边压下来,从而使右边深度增加,与左边平衡
三. 右旋的代码
由此,可以写出右旋的代码:
//右单旋
void RotateR(Node* parent) {
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR) {
subLR->_parent = parent;
}
//提前记录parent 的父节点
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
//旋转树 可能是一颗完整树 或者 一颗子树
if (parent == _root) {
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else {
if (ppNode->_left == parent) {
ppNode->_left = subL;
}
else {
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
//更新平衡因子
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
- 新节点插入较深右子树的右侧—右右:左单旋
一. 左旋的规则
左旋的基本规则图如下:
此时,c这颗子树的高度变为h+1 ,就会引发左单旋。
根据上图,左单旋的具体操作:
- b子树变成30的右子树
- 30成为60的左子树,60成这棵树的根
二. 左旋的条件
与之前的右单旋相同,同学们也可以将h 取特殊值来验证上面的“抽象图”,这里限于篇幅,不再赘述了。
我们直接总结出结论:
- 从图上直观来说:子树c 与 30,60 呈现一条直线,且左边高,我们应该左单旋,加大左边深度
- 从代码角度来说:30的平衡因子为2, 60的平衡因子为1,我们应该左单旋。
对于右旋,感性理解,就是左边太高了,我们得把左边压下来,从而使左边深度增加,与右边平衡
三. 左旋的代码
void RotateL(Node* parent){
Node*subR=parent->_right;
Node*subRL=subR->_left;
parent->_right=subRL;
if(subRL)
subRL->_parent=parent;
Node* ppNode= parent->_parent;
subR->left=parent;
parent->_parent=subR;
if(ppNode==_root){
_root=subR;
subR->_parent=nullptr;
}
else{
if (ppNode->_left == parent) {
ppNode->_left = subR;
}
else {
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
subR->_bf =parent->_bf =0;
}
除了单旋之外,在某些情况之下,一次旋转是不足够的,我们需要两次旋转。
- 新节点插入较深左子树的右侧—左右:先左单旋再右单旋
左右双旋的规则
基本步骤:
先对30进行左单旋,然后再对90进行右单旋,旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
可以发现,经过第一次左旋,此时 30,60,90 在一条直线上,且90最高, 这也就我们右单旋的条件。所以,我们之后右单旋就能获得平衡树。
左右双旋的条件
我们了解了双旋是如何旋转的同时,也要探究一下什么时候我们采用 左右双旋。抽象图比较难懂,我们还是采用“抽象具体化”的方式,对h取几个特殊值,看图说话。
抽象图:
- 当h=0 的时候
根据抽象图,当我们取h=0 的时候,b,c的子树高度为-1,显然不可能,这里我们理解为60是新增节点。当我们更新平衡因子之后,得到_bf(30)=1,_bf(90)=-2,需要旋转。
- 当h=1 的时候
当h=1 的时候,只有一种原始状态,但是插入存在两种情况,60的左边或者右边均可。当然,无论如何插入,最终得到_bf(30)=1,_bf(90)=-2,需要旋转。
- 当 h=2的时候
同样,h=2 的时候,情况已经比较复杂,我们任意选取一种来画图:
由此我们可以得出结论:
- 从图上直观来说:60 与 30,90 呈现一条折现,且90左边较深
- 从代码角度来说:30的平衡因子为1, 90的平衡因子为-2
从感性角度认识,90的左子树太深(h+3),我们先左旋降低 左子树高度(h+2).此时右子树太高,右旋降低右子树高度。
左右双旋的代码
左右双旋的条件是 新节点插入较深左子树的右侧 ,在下图中也就是30的右侧,所以当h>=1的时候,我们插入可以在60的左边,也可以是右边。
我们如何区分这两种情况呢,很简单,使用平衡因子区分即可,两种插入会导致双旋之后 30和90 的平衡因子不同,而60的平衡因子一样,都是0.
很多同学到这里觉得的就完了,其实上面的图都是基于60存在的情况,如果60是新增节点呢(h=0),这又是一种单独的情况。
void RotateLR(Node* parent) {
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1) {
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) {
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0) {
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else {
assert(false);
}
}
- 新节点插入较深右子树的左侧—右左:先右单旋再左单旋
右左双旋的规则
基本步骤:
先对90进行右单旋,然后再对30进左单旋,旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
右左双旋的条件
与之前的左右单旋相同,同学们也可以将h 取特殊值来验证上面的“抽象图”,这里限于篇幅,不再赘述了。
- 从图上直观来说:60 与 30,90 呈现一条折现,且90右边较深
- 从代码角度来说:30的平衡因子为2, 90的平衡因子为-1
从感性角度认识,90的右子树太深(h+3),我们先右旋降低 左子树高度(h+2).此时左子树太高,右旋降低右子树高度。
右左双旋的代码
新节点插入较深右子树的左侧,我们就进行右左双旋。
所以当h>=1的时候,我们可以选择插入在60之下,左右都可以,但是我们要通过30和60的_bf 区分结果。
当h=0 的时候,只有30,90 两个节点,60作为新增节点出现
void RotateRL(Node* parent) {
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent->_left);
if (bf == 1) {
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1) {
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0) {
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else {
assert(false);
}
}
4.1.3.2 AVL树的 插入代码
完整代码:
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_kv.first < kv.first) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < cur->_kv.first) {
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else {
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
//控制树的平衡
//插入一个节点之后,对于这个新节点祖先都有可能会有影响,但是还需要更具体的分析
//1.插入更新的节点在父亲的左边,父亲平衡因子--
//2.插入更新的节点在父亲的右边,父亲平衡因子++
//3.父亲的平衡因子更新之后,是1或者-1,说明父亲所在的子树高度变化了,需要继续往上更新
//4.父亲的平衡因子更新之后,是0,说明父亲所在的子树高度不变,不需要继续往上更新
//5.更新之后,更新到了根节点,就不需要再更新
//6.更新之后,父亲的平衡因子是2或者-2,说明父亲所在的子树已经不平衡了,需要旋转,让他平衡
while (parent) {
//更新平衡因子
if (cur == parent->_left) {
parent->_bf--;
}
else {
parent->_bf++;
}
//检查父亲的平衡因子
if (parent->_bf == 0) {
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) {
//当出现不平衡,会有四种情况
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) {
//右单旋
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) {
//左单旋
RotateL(parent);
}
//更新平衡因子的过程中,引发旋转的路径是直线 就是单旋
//如果是折现,就是双旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) {
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) {
RotateRL(parent);
}
else {
assert(false);
}
break;
}
else {
assert(false);
}
}
return true;
}
void RotateR(Node* parent) {
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR) {
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root) {
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else {
if (ppNode->_left == parent) {
ppNode->_left = subL;
}
else {
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
void RotateL(Node* parent) {
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL) {
subRL->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root) {
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else {
if (ppNode->_left == parent) {
ppNode->_left = subR;
}
else {
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
void RotateLR(Node* parent) {
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1) {
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) {
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0) {
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else {
assert(false);
}
}
void RotateRL(Node* parent) {
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent->_left);
if (bf == 1) {
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1) {
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0) {
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else {
assert(false);
}
}
4.1.4 AVL树的 删除
因为AVL树也是二叉搜索树,可按照二叉搜索树的方式将节点删除,然后再更新平衡因子,只不错与删除不同的时,删除节点后的平衡因子更新,最差情况下一直要调整到根节点的位置。
删除较插入更加复杂,感兴趣的同学可以自行了解。之后我可能也会添加相关内容。
4.1.5 AVL树的 验证
通过以下代码,我们可以验证我们写的AVL树是否平衡。
int Height(Node* root) {
if (root == NULL) {
return 0;
}
int left = Height(root->_left);
int right = Height(root->_right);
return max(left, right) + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
}
4.1.6 AVL树的 性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,即 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作,性能非常低下,比如:
插入时要维护其绝对平衡,旋转的次数比较多,更差的是在删除时,有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此:如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数据的个数为静态的(即不会改变),可以考虑AVL树,但一个结构经常修改,就不太适合
4.2 红黑树
4.2.1 红黑树的概念
由于AVLTree存在以上缺陷,于是,又有人发明出一种新的搜索二叉树 ,也就是 广为人知的红黑树。
红黑树,是一种二叉搜索树,但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色,可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制,红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍,因而是接近平衡的。
4.2.2 红黑树的性质
红黑树具有五点重要的性质:
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的,则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点,从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上,均 包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
这五条性质 就可以保证 我们的红黑树 的 最长路径不超过最短路径的两倍。
4.2.3 红黑树节点的定义
enum Colour {
BLACK,
RED
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode {
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
Colour _col;
pair<K, V> _kv;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _col(RED)
, _kv(kv)
{
}
};
4.2.4 红黑树的结构
在c++ stl 库中,为了后续实现关联式容器简单,红黑树的实现中增加一个头结点,因为跟节点必须为黑色,为了与根节点进行区分,将头结点给成黑色,并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点,pLeft域指向红黑树中最小的节点,_pRight域指向红黑树中最大的节点,如下:
4.2.5 红黑树的 插入
与AVL树的插入类似,我们先按照 搜索二叉树的规则 进行插入,在插入之后,检查红黑树的平衡是否被被打破,如果打破,我们需要对红黑树进行 节点的变色 或者 局部的旋转。
4.2.5.1 插入节点的颜色
在这之前,还有一个重要的问题,对于我们新插入的节点,我们应该设置为什么颜色?
-
如果我们插入黑色节点,那么该路径相较于其他路径必定多出一个黑色路径。此时违反了 规则四,即不同路径黑色数量相同。那么我们这时候想调整是是否困难。
-
如果我们插入红色节点。如果其父亲是黑色节点,那么红黑树未被破坏,不需要调整。如果其父节点是红色节点,此时违反了规则三,即 红色节点的子节点要为黑色,需要我们调整,此时调整不影响其他路径,比较可行。
综上所述,插入节点统一设置为 红色。
由此我们可以写出一部分代码,这部分与 搜索二叉树 基本相同:
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_kv.first < kv.first) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
//新增节点,设置为红色,可能破坏规则三
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first) {
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else {
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
}
4.2.5.2 调整红黑树平衡
接下来检测 新节点插入后,红黑树性质是否遭到破坏。
我们约定:
- cur为当前节点,parent(p)为父节点,grandpa(g)为祖父节点,uncle(u)为叔叔节点。
- 接下来的图,可能代表一颗完整的树,也可能是一颗子树
此时一条路径上存在连续的红色节点,我们需要调整:
情况1.1: g是子树,存在父节点
将p和u 颜色改为黑色,g 改为红色,此时该局部是符合红黑树的性质的由于g是子树,如果g的父节点是 红色,那么又违反了规则三,这就像一个套娃一样,我们可能需要一直调整到g为根节点。
我们也可以多画一步(如下图),看看 是如何“套娃”?
可以看出,在这种情况下,我们的cur,parent,uncle,grandpa 是不断往上走动的,这也就导致了我们的cur 指向的不一定是我们真正的新增节点。换句话说,上面的“抽象图”所说的cur,不一定是真正的新增节点!
情况1.2: g是子树,存在父节点
与情况1.1相同,我只需要最后将 g 改为黑色 即可,原因是我们要符合 性质二,根节点是黑色。
细心的同学可能已经意识到了,情况1.2就是情况1.1的“”终点”。
抽象图:
情况2.1: u存在且为黑
这张抽象图十分奇怪,就算去掉"新增节点"cur,它依然不满足红黑树的性质,那么这张图错了吗,并不是,只是因为这张图是不完整的,cur也不是真正的新增节点。
那么完整的图应该是怎样的?如下图
我们将原始状态更新一次之后 得到的图的橙色部分,就是我们之前的抽象图。同时,我们可以发现原始状态下绿色框内的节点分布与我们的情况1.1是一样的。
当然,所谓的完整的图 也只是 也只是我例举的一种比较简单情况,二叉树可能有很多层,但是,可以肯定的是,情况2.1 是由 情况2.2 迭代而来的,且现在的cur 节点颜色原来一定是黑色,现在看到是红色是因为cur的子树在调整过程中将cur 节点的颜色由红色改为了黑色。
那么,情况2.1 又该如何调整?
- p是g的左孩子,cur 为p的左孩子,则进行右单旋 (如下图)
- p为g的右孩子,cur为p的右孩子,则进行左单旋转 (没有画图)
- p变黑,g变红
抽象图如下:
情况2.2: u不存在
与情况2.1 相比,如果u不存在,那么cur一定是新插入的节点,因为如果cur 不是新插入节点,那么cur与p一定一定有一个节点的颜色是黑色,这样就不满足性质4,即每条路径黑色节点个数相同。
那么情况2.1 又该如何调整?
- p为g的左孩子,cur为p的左孩子,则进行右单旋转(如下图);相反,p为g的右孩子,cur为p的右孩子,则进行左单旋转(没画图)
- p变黑,g变红
抽象图:
情况 3.1 : u存在且为黑
与情况2.1类似,我们看上图的时候 发现去掉新增节点,原树并不符合红黑树性质,这也是因为抽象图并不完整,所以这里不再赘述,直接看图。
那么情况3.1 又该如何调整?
- p为g的左孩子,cur为p的右孩子 ,则先对p左旋,此时变成情况2,再对g右旋(如下图)
- p为g的右孩子,cur为p的左孩子,则先对p右旋,此时变成情况2,再对g左旋(没画图)
情况 3.2 : u不存在
此时 cur 一定是新插入的节点。
同样,我们也是用双旋解决:
- p为g的左孩子,cur为p的右孩子 ,则先对p左旋,此时变成情况2,再对g右旋(如下图)
- p为g的右孩子,cur为p的左孩子,则先对p右旋,此时变成情况2,再对g左旋(没画图)
4.2.5.3 插入代码实现
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_kv.first < kv.first) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
//新增节点,设置为红色,可能破坏规则三
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first) {
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else {
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 控制近似平衡
while (parent && parent->_col == RED) {
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left) {
Node* uncle = grandfather->_right;
//情况一
//uncle 存在且为红,进行变色处理
if (uncle && uncle->_col == RED) {
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}//情况二+三 :uncle不存在,或者存在且为黑,需要旋转+变色处理
else {
//情况二: 单旋+变色
if (cur = parent->_left) {
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}//情况三: 双旋 + 变色
else {
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else {
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED) {
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else {
if (cur = parent->_right) {
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else {
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
void RotateR(Node* parent) {
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR) {
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root) {
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else {
if (ppNode->_left == parent) {
ppNode->_left = subL;
}
else {
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
}
void RotateL(Node* parent) {
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL) {
subRL->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root) {
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else {
if (ppNode->_left == parent) {
ppNode->_left = subR;
}
else {
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
}
4.2.6 红黑树的 删除
红黑树的删除本节不做讲解,有兴趣的同学可参考:《算法导论》或者《STL源码剖析》
4.2.7 红黑树的 验证
我们可以写一个函数Is_Balance验证我们的红黑树是否正确:
void _InOrder(Node* root) {
if (root == nullptr)return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " ";
_InOrder(root->_right);
}
void InOrder() {
_InOrder(_root);
}
bool Check(Node* cur) {
if (cur == nullptr) {
return true;
}
if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED) {
cout << "违反规则三,存在连续的红色节点" << endl;
return false;
}
return Check(cur->_left) && Check(cur->_right);
}
//检查每条路径的黑色节点个数
bool CheckBlackNum(Node* cur, int blackNum, int benchmark) {
if (cur == NULL) {
if (blackNum != benchmark) {
cout << "违反规则四,黑色节点的数量不相等" << endl;
return false;
}
return true;
}
if (cur->_col == BLACK) {
++blackNum;
}
return CheckBlackNum(cur->_left, blackNum, benchmark) &&
CheckBlackNum(cur->_right, blackNum, benchmark);
}
bool IsBalance() {
if (_root == nullptr) {
return true;
}
if (_root->_col == RED) {
cout << "根节点是红色,违反规则二" << endl;
return false;
}
//算出最左路径的黑色节点数量作为基准值
int benchmark = 0;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_col == BLACK) {
++benchmark;
}
cur = cur->_left;
}
int blackNum = 0;
return Check(_root) && CheckBlackNum(_root, blackNum, benchmark);
}
4.2.8 红黑树与AVL树的对比
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树,增删改查的时间复杂度都是O( ),红黑树不追求绝对平衡,其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍,相对而言,降低了插入和旋转的次数,所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优,而且红黑树实现比较简单,所以实际运用中红黑树更多。
4.2.9 红黑树的应用
- C++ STL库 – map/set、mutil_map/mutil_set
- Java 库
- linux内核
- 其他一些库
5. set与map 的模拟实现
我们用了三万多字(累),终于把set和map的使用与底层知识 铺垫好了,接下来我们就可以开始写我们自己的set和map了!
5.1 红黑树的改造
我们之前在红黑树节点中存储的是pair结构,如果这样的话,map是没有问题的,set 就会出现问题,所以我们要改造我们的红黑树。
这里我不多废话,直接模仿原码的实现方式 加以简化 改造。
原码中 使用一个 RBTree 同时实现了map和set,这是如何做到的呢?
我们为RBTree设置三个模板参数,K,T,KeyOfT.
template<class K, class T,class KeyOfT>
- 第一个模板参数K 代表key值。
- 第二个模板参数T 代表节点中存储的数据类型。 对于map 是 pair<K,V>,set是K
- 第三个模板参数KeyOdT 表示 一个仿函数,用法之后说。
看到这里同学们可能会有两个疑问:
-
第二个模板参数含K,那么第一个K 是不是冗余了?
并不会冗余,比如我们想实现Find 方法:
Node* Find(const K& key);
这个时候如果没有第一个模板参数,我们能用第二个参数实现吗?对于set来说,肯定是没有问题的,第二个参数就是K,对于map,第二个参数是pair<K,V>,我们可以从pair中取出 K的数值,却无法取出 K这个类型。所以,这时候我们只能专门传一个K 类型,也就是第一个模板参数。这个参数虽然对于冗余,但是对map 不可缺少。
-
反函数是如何帮助 RBTree 一树两用 的?
由于在map 与set 给第二个模板传的参数不同,这也导致了节点中存储的东西是不同的,但是这对位于底层的红黑树来说是没有办法 判定的, 节点内容的类型 对于底层就是一个“黑匣子”,无法判断,这也导致了一个问题,当我们在插入/删除等操作的时候,要比较节点Key 值得value ,这对于set来说没有障碍,但是如果是map,在我们没有重载 大于、小于的情况下,pair之间无法直接比较key.
所以我们采用 仿函数 ,就可以优雅地解决这个问题。
我们在set 写一个仿函数:struct SetKeyOfT { const K& operator()(const K& key) { return key; } };
在map中也写一个仿函数:
struct MapKeyOfT { const K& operator()(const pair<const K, V>& kv) { return kv.first; } };
我们将这两个仿函数作为模板参数传给红黑树,那么如何使用?比如,我们要比较两个节点的key值:
KeyOfT kot; while (cur) { if (kot(cur->_data) < kot(data)) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (kot(cur->_data) > kot(data)) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return make_pair(iterator(cur), false); } }
此时我们的问题就完美解决了,仿函数会自动匹配类型,如果是set,调用SetKeyOfT,返回key值,如果是map,调用 SetOfMap, 返回pair 的第一个值,即key.
5.2 红黑树的迭代器
处理基本的增删查改之外,迭代器也是stl 的重要组件之一。
关于迭代器的基础设计问题,我在C++】手把手教你写出自己的list类中写的比较清楚了,不太清楚的同学可以看看。
对于红黑树来说,迭代器比较难的一点是如何实现 ++ / --,这个比较考验同学们的数据结构功底。
这里我们分析一下++, 我们需要分情况讨论:
- 如果it 指向的节点的右子树不为空,下一个就++ 到右子树中序的第一个节点,也就是右子树的最左节点。(比如17 下一个访问 22)
- 如果it指向的节点的右子树为空,下一个++要访问的节点是 沿着it指向节点根节点的路径中,孩子是父亲左的那个父亲节点。(比如11的下一个访问 13)
template<class T ,class Ref ,class Ptr>
struct RBTreeIterator
{
typedef RBTreeNode<T> Node;
typedef RBTreeIterator<T, Ref, Ptr> Self;
Node* _node;
RBTreeIterator(Node* node=nullptr)
:_node(node)
{
}
Ref operator*()
{
return _node->_data;
}
Ptr operator->()
{
return &_node->_data;
}
bool operator!=(const Self& s)const {
return _node != s._node;
}
bool operator ==(const Self& s)const {
return _node == s._node;
}
Self& operator++() {
if (_node->_right) {
//右子树中序的第一个节点,也就是右子树的最左节点
Node* subLeft = _node->_right;
while (subLeft->_left) {
subLeft = subLeft->_left;
}
_node = subLeft;
}
else{
// 当前子树已经访问完了,要去找祖先,沿着根节点的路径往上走,
//找孩子是父亲左的那个父亲节点
Node* cur = _node;
Node* parent = cur->_parent;
while (parent && parent->_right == cur) {
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
_node = parent;
}
return *this;
}
Self& operator--() {
//和++基本是反过来的
return *this;
}
};
5.3 RBTree完整代码
#pragma once
enum Colour {
BLACK,
RED
};
template<class T>
struct RBTreeNode {
RBTreeNode<T>* _left;
RBTreeNode<T>* _right;
RBTreeNode<T>* _parent;
Colour _col;
T _data;
RBTreeNode(const T& data)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _col(RED)
, _data(data)
{
}
};
template<class T ,class Ref ,class Ptr>
struct RBTreeIterator
{
typedef RBTreeNode<T> Node;
typedef RBTreeIterator<T, Ref, Ptr> Self;
Node* _node;
RBTreeIterator(Node* node=nullptr)
:_node(node)
{
}
Ref operator*()
{
return _node->_data;
}
Ptr operator->()
{
return &_node->_data;
}
bool operator!=(const Self& s)const {
return _node != s._node;
}
bool operator ==(const Self& s)const {
return _node == s._node;
}
Self& operator++() {
if (_node->_right) {
//右子树中序的第一个节点,也就是右子树的最左节点
Node* subLeft = _node->_right;
while (subLeft->_left) {
subLeft = subLeft->_left;
}
_node = subLeft;
}
else{
// 当前子树已经访问完了,要去找祖先,沿着根节点的路径往上走,
//找孩子是父亲左的那个父亲节点
Node* cur = _node;
Node* parent = cur->_parent;
while (parent && parent->_right == cur) {
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
_node = parent;
}
return *this;
}
Self& operator--() {
//和++基本是反过来的
return *this;
}
};
// T->K set
// T->pair<const K,V>map
template<class K, class T,class KeyOfT>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<T> Node;
public:
typedef RBTreeIterator<T, T&, T*>iterator;
typedef RBTreeIterator<T, const T&, const T*> const_iterator;
iterator begin() {
Node* left = _root;
while (left && left->_left) {
left = left->_left;
}
//return left;
return iterator(left);
}
iterator end() {
return iterator(nullptr);
}
RBTree()
:_root(nullptr)
{
}
//拷贝构造
//赋值重载
//析构
Node* Find(const K& key) {
}
pair<iterator,bool> Insert(const T& data) {
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(data);
_root->_col = BLACK;
return make_pair(iterator(_root),true);
}
KeyOfT kot;
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (kot(cur->_data) < kot(data)) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kot(cur->_data) > kot(data)) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return make_pair(iterator(cur), false);
}
}
//新增节点,设置为红色,可能破坏规则三
cur = new Node(data);
Node* newnode = cur;
cur->_col = RED;
if (kot(parent->_data) < kot(data)) {
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else {
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 控制近似平衡
while (parent && parent->_col == RED) {
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left) {
Node* uncle = grandfather->_right;
//情况一
//uncle 存在且为红,进行变色处理
if (uncle && uncle->_col == RED) {
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}//情况二+三 :uncle不存在,或者存在且为黑,需要旋转+变色处理
else {
//情况二: 单旋+变色
if (cur = parent->_left) {
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}//情况三: 双旋 + 变色
else {
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else {
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED) {
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else {
if (cur = parent->_right) {
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else {
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return make_pair(iterator(newnode), true);
}
void RotateR(Node* parent) {
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR) {
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root) {
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else {
if (ppNode->_left == parent) {
ppNode->_left = subL;
}
else {
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
}
void RotateL(Node* parent) {
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL) {
subRL->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root) {
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else {
if (ppNode->_left == parent) {
ppNode->_left = subR;
}
else {
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
}
void _InOrder(Node* root) {
if (root == nullptr)return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " ";
_InOrder(root->_right);
}
void InOrder() {
_InOrder(_root);
}
bool Check(Node* cur) {
if (cur == nullptr) {
return true;
}
if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED) {
cout << "违反规则三,存在连续的红色节点" << endl;
return false;
}
return Check(cur->_left) && Check(cur->_right);
}
//检查每条路径的黑色节点个数
bool CheckBlackNum(Node* cur, int blackNum, int benchmark) {
if (cur == NULL) {
if (blackNum != benchmark) {
cout << "违反规则四,黑色节点的数量不相等" << endl;
return false;
}
return true;
}
if (cur->_col == BLACK) {
++blackNum;
}
return CheckBlackNum(cur->_left, blackNum, benchmark) &&
CheckBlackNum(cur->_right, blackNum, benchmark);
}
bool IsBalance() {
if (_root == nullptr) {
return true;
}
if (_root->_col == RED) {
cout << "根节点是红色,违反规则二" << endl;
return false;
}
//算出最左路径的黑色节点数量作为基准值
int benchmark = 0;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_col == BLACK) {
++benchmark;
}
cur = cur->_left;
}
int blackNum = 0;
return Check(_root) && CheckBlackNum(_root, blackNum, benchmark);
}
private:
Node* _root;
};
5.4 map 的模拟实现
#pragma once
#include"RBTree.h"
namespace yyk {
template<class K,class V>
class map
{
struct MapKeyOfT {
const K& operator()(const pair<const K, V>& kv) {
return kv.first;
}
};
public:
typedef typename RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT>::iterator iterator;
iterator begin()
{
return _t.begin();
}
iterator end() {
return _t.end();
}
pair<iterator,bool> insert(const pair<const K, V>& kv) {
return _t.Insert(kv);
}
V& operator[](const K& key) {
pair<iterator, bool>ret = _t.Insert(make_pair(key, V()));
return ret.first->second;
}
private:
RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT>_t;
};
void test_map()
{
map<string, string>dict;
dict.insert(make_pair("sort", "排序"));
dict.insert(make_pair("string", "字符串"));
dict["string"] = "hahah";
map<string, string>::iterator it = dict.begin();
while (it != dict.end()) {
cout << it->first << " " << it->second << endl;
++it;
}
cout << endl;
}
}
5.5 set的模拟实现
#pragma once
#include"RBTree.h"
namespace yyk {
template<class K>
class set
{
struct SetKeyOfT {
const K& operator()(const K& key) {
return key;
}
};
public:
typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::iterator iterator;
iterator begin() {
return _t.begin();
}
iterator end() {
return _t.end();
}
pair<iterator,bool> insert(const K& key) {
return _t.Insert(key);
}
private:
RBTree<K, K, SetKeyOfT>_t;
};
void test_set()
{
set<int>s;
s.insert(1);
s.insert(3);
s.insert(4);
s.insert(5);
s.insert(6);
set<int>::iterator it = s.begin();
while (it != s.end()) {
cout << *it << " ";
++it;
}
}
}