BZOJ 1426 收集邮票
题目描述 Description
有n种不同的邮票,皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买,每次只能买一张,并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的,概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票,所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。现在皮皮手中没有邮票,皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。
输入描述 Input Description
一行,一个数字N
输出描述 Output Description
要付出多少钱. 保留二位小数
样例输入 Sample Input
3
样例输出 Sample Output
21.25
数据范围及提示 Data Size & Hint
Solution
用
表示现在取到
张邮票,要取完剩下邮票的期望次数
显然
现在已经取得
张邮票,所以下一次取邮票有
的概率取到已经有的,期望为
有
的概率取到没有的,期望为
,这次取邮票的期望为1,所以总期望为:
化简可得:
用
表示现在取到
张邮票,要取完剩下邮票的期望价格
显然
现在已经取得
张邮票,所以下一次取邮票有
的概率取到已经有的,期望为
,有
的概率取到没有的,期望为
所以总期望为:
化简可得:
前面的推导貌似很自然的样子,但是为啥
的推导式看着就那么奇怪呢?
那是因为式子的结构表示的是每次都将后面取到的邮票费用+1(总费用+f[i]),再加上自己的费用(+1)
这样就很好理解了
为啥不是
我也想了很久
因为推导过来每次的贡献是不相同的
比如说所有情况中有1次需要取2张,1次需要取3张,那么总贡献为
,而期望次数为2.5,显然是不对的…
代码比思考简单多了
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double f[10005],g[10005];
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=n-1;~i;--i) {
f[i]=f[i+1]+(1.0*n)/(1.0*(n-i));
g[i]=(1.0*i)/(1.0*(n-i))*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
}
printf("%.2lf\n",g[0]);
return 0;
}