为什么会产生出Ｍel 这种尺度的机制呢？
人耳朵具有特殊的功能，可以使得人耳朵在嘈杂的环境中，以及各种变异情况下仍能正常的分辨出各种语音；
其中，耳蜗有关键作用;
耳蜗实质上的作用相当于一个滤波器组，耳蜗的滤波作用是在对数频率尺度上进行的，在1000HZ以下为线性尺度，1K HZ以上为对数尺度，使得人耳对低频信号敏感，高频信号不敏感；
也就是说，当初产生这种机制主要是为了模拟，人耳朵的听觉机制；
根据这一原则，从而研制出来了Ｍel频率滤波器组，
所以，Ｍel滤波器组的在靠近低频出越密集，越靠近高频出，滤波器越稀疏；
1. 简介 梅尔刻度
- 为什么需要 Mel 刻度：
MEL刻度模拟人耳对不同频率语音的感知：
研究表明，人类对频率的感知并不是线性的，并且对低频信号的感知要比高频信号敏感。对1kHz以下，与频率成线性关系，对1kHz以上，与频率成对数关系。频率越高，感知能力就越差。
例如，人们可以比较容易地发现500和1000Hz的区别，但很难发现7500和8000Hz的区别。
- Mel （melody）刻度定义：
这时，梅尔标度(the Mel Scale)被提出，它是Hz的非线性变换，对于以mel scale为单位的信号，可以做到人们对于相同频率差别的信号的感知能力几乎相同。
F m e l ( f ) = 2595 ∗ l o g 10 ( 1 + f 700 ) , F_{mel}(f) = 2595* log_{10}(1+ \frac{f}{700} ), Fmel(f)=2595∗log10(1+700f),
f = 700 ( 1 0 m 2595 − 1 ) . f=700(10^\frac{m}{2595} −1). f=700(102595m−1).
M 被称作 Mel 频率；
观察上图：
从Hz到mel的映射图，由于它们是log的关系，
当频率较小时，mel随Hz变化较快；
当频率很大时，mel的上升很缓慢，曲线的斜率很小。
这说明了人耳对低频音调的感知较灵敏，在高频时人耳是很迟钝的，梅尔标度滤波器组启发于此， 从而 梅尔滤波器 的 分布情况 受启发于此。
如上图所示，40个三角滤波器组成滤波器组，低频处滤波器密集，门限值大，高频处滤波器稀疏，门限值低。恰好对应了频率越高人耳越迟钝这一客观规律。上图所示的滤波器形式叫做等面积梅尔滤波器（Mel-filter bank with same bank area），在人声领域（语音识别，说话人辨认）等领域应用广泛，但是如果用到非人声领域，就会丢掉很多高频信息。
如上图所示，如果用到非人声领域，这时常用的是等高梅尔滤波器（Mel-filter bank with same bank height）：
2. Mel频率与普通频率
2.1 Mel 与f 两者的转换关系
梅尔频率与实际频率的关系如下：
F m e l ( f ) = 2595 ∗ l o g 10 ( 1 + f 700 ) , F_{mel}(f) = 2595* log_{10}(1+ \frac{f}{700} ), Fmel(f)=2595∗log10(1+700f),
f = 700 ( 1 0 m 2595 − 1 ) . f=700(10^\frac{m}{2595} −1). f=700(102595m−1).
F m e l ( f ) F_{mel}(f) Fmel(f) j简写成m, 是以Mel为单位的感知频率， f f f是以Hz为单位的实际频率；
注意， 如果对数以e为底， 则系数的取值为1125
Mel滤波器组就是一系列的三角形滤波器，通常有40个或80个，在中心频率点响应值为1，在两边的滤波器中心点衰减到0，如下图：
具体公式可以写为：
2.2 生成Mel 语谱图
注意，log mel-filter bank outputs和“FBANK features说的是同一个东西,
他们本质上都指的是经过 Mel filter， Mel 滤波器的输出 ；
最后在能量谱上应用Mel滤波器组，其公式为：
Y t ( m ) = ∑ k = 1 N H m ( k ) ∣ X t ( k ) ∣ 2 Y_t(m) = \sum^{N}_{k=1} H_{m}(k)|X_{t}(k)|^2 Yt(m)=k=1∑NHm(k)∣Xt(k)∣2
其中，k表示FFT变换后的编号，m表示mel滤波器的编号。
low_freq_mel = 0
high_freq_mel = 2595 * np.log10(1 + (sample_rate / 2) / 700)
print(low_freq_mel, high_freq_mel)
0 2146.06452750619
nfilt = 40
mel_points = np.linspace(low_freq_mel, high_freq_mel, nfilt + 2) # 所有的mel中心点，为了方便后面计算mel滤波器组，左右两边各补一个中心点
hz_points = 700 * (10 ** (mel_points / 2595) - 1)
fbank = np.zeros((nfilt, int(NFFT / 2 + 1))) # 各个mel滤波器在能量谱对应点的取值
bin = (hz_points / (sample_rate / 2)) * (NFFT / 2) # 各个mel滤波器中心点对应FFT的区域编码，找到有值的位置
for i in range(1, nfilt + 1):
left = int(bin[i-1])
center = int(bin[i])
right = int(bin[i+1])
for j in range(left, center):
fbank[i-1, j+1] = (j + 1 - bin[i-1]) / (bin[i] - bin[i-1])
for j in range(center, right):
fbank[i-1, j+1] = (bin[i+1] - (j + 1)) / (bin[i+1] - bin[i])
print(fbank)
[[0. 0.46952675 0.93905351 … 0. 0. 0. ]
[0. 0. 0. … 0. 0. 0. ]
[0. 0. 0. … 0. 0. 0. ]
…
[0. 0. 0. … 0. 0. 0. ]
[0. 0. 0. … 0. 0. 0. ]
[0. 0. 0. … 0.14650797 0.07325398 0. ]]
filter_banks = np.dot(pow_frames, fbank.T)
filter_banks = np.where(filter_banks == 0, np.finfo(float).eps, filter_banks)
filter_banks = 20 * np.log10(filter_banks) # dB
print(filter_banks.shape)
(349, 40)
plot_spectrogram(filter_banks.T, 'Filter Banks')
3. Mel滤波器组设计的总体思想
3.1 中心频率的选取
在语音的频谱范围内设置若干带通滤波器 H m ( k ) H_m(k) Hm(k)， 1 ≤ m ≤ M 1≤m≤M 1≤m≤M，M为滤波器的个数（M一般取24)。
每个滤波器具有三角滤波特性，其中心频率为 f ( m ) f(m) f(m)， 1 ≤ m ≤ M 1≤m≤M 1≤m≤M。
在Mel频率范围内，这些滤波器是等带宽的。
f l f_{l} fl为滤波器频率范围内的最低频率，
f h f_{h} fh为滤波器频率范围内的最高频率，
N为DFT（或FFT）时的长度，
f s f_{s} fs为采样频率，
F m e l F_{mel} Fmel的逆函数:
F m e l − 1 ( m ) = 700 ( 1 0 m 2595 − 1 ) . F^{-1}_{mel}(m) =700(10^\frac{m}{2595} −1). Fmel−1(m)=700(102595m−1).
3.2 分析与设计
以M=6（6个滤波器）为例， f l f_{l} fl, f h f_{h} fh, f s f_{s} fs、 N N N、 M M M的值一旦确定就固定不变。
将Mel 频率尺度上的 F m e l ( f l ) F_{mel}(f_l) Fmel(fl)至 F m e l ( f h ) F_{mel}(f_h) Fmel(fh)
的Mel频率范围均分为M+1=7段，
产生M+2=8个Mel频率值。
分别求出这M+2=8个Mel频率对应的实际频率值，即：
F m e l − 1 ( F m e l ( f l ) + i F m e l ( f h ) − F m e l ( f l ) M + 1 ) F^{-1}_{mel}(F_{mel}(f_l)+i\cfrac{F_{mel}(f_h)-F_{mel}(f_l)}{M+1}) Fmel−1(Fmel(fl)+iM+1Fmel(fh)−Fmel(fl))
0 ≤ i ≤ 8 0≤i≤8 0≤i≤8
分别求出这M+2=8个实际频率值对应的FFT点数
f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)、f(6)分别为第1，2，3，4，5，6个滤波器的中心频率对应的FFT点数（向上取整），设计M=6个滤波器。
- m = 1（第1个滤波器）
当 f(m-1)<k<f(m) 即 f(0)<k<f(1) 时，画红色三角形的左半部分；
当 f(m)<k<f(m+1) 即 f(1)<k<f(2) 时，画红色三角形的右半部分；
- m = 2（第2个滤波器）
当 f(m-1)<k<f(m) 即 f(1)<k<f(2) 时，画黄色三角形的左半部分
当 f(m)<k<f(m+1) 即 f(2)<k<f(3) 时，画黄色三角形的右半部分
- m = 3（第3个滤波器）
当 f(m-1)<k<f(m) 即 f(2)<k<f(3) 时，画绿色三角形的左半部分
当 f(m)<k<f(m+1) 即 f(3)<k<f(4) 时，画绿色三角形的右半部分
- m = 4（第4个滤波器）
当 f(m-1)<k<f(m) 即 f(3)<k<f(4) 时，画蓝色三角形的左半部分
当 f(m)<k<f(m+1) 即 f(4)<k<f(5) 时，画蓝色三角形的右半部分
- m = 5（第5个滤波器）
当 f(m-1)<k<f(m) 即 f(4)<k<f(5) 时，画紫色三角形的左半部分
当 f(m) <k<f(m+1) 即 f(5)<k<f(6) 时，画紫色三角形的右半部分
- m = 6（第6个滤波器）
当 f(m-1)<k<f(m) 即 f(5)<k<f(6) 时，画黑色三角形的左半部分
当 f(m)<k<f(m+1) 即 f(6)<k<f(7) 时，画黑色三角形的右半部分
4. Mel 滤波器生成的具体步骤
原始的Mel 滤波器，实现过程如下：
主要有分为三步：
- 将信号的最高频率和最低频率 映射到Mel 频率上， 根据Mel 滤波器的个数K， 在Mel低频率和Mel 高频率之间 线性间隔出 K 个附加 点， 共 (K + 2) 个 Mel频率点 m ( i ) m(i) m(i)。
映射到Mel 尺度上的原因，该Mel尺度的频率是拟合了人耳的线性变换，
-
将上述步骤一中, (K + 2) 个Mel 频率点 映射到(K + 2) 普通频率HZ上 h ( i ) h(i) h(i)
-
将步骤二中， (K + 2) 个普通频率取整到最接近的 frequency bin 频率上 f ( i ) f(i) f(i); 此时得到的 f ( i ) f(i) f(i) 即是各个滤波器的中心频率, 生成三角滤波器；
采用python中librosa库，发现从Hz频率到Mel频率有两种转换方式，而默认的方式并不是按照我们熟知的公式进行转换的，
因此详细研究了一下python中librosa库中与mel频谱有关的源代码。
这里我们主要关注数学表达，数学表达搞清后写代码自然不是难事。
通常情况下，hz频率f ff与mel频谱m mm通过如下公式转换
m = 2595 l g ( 1 + f / 700 ) , m=2595lg(1+ f/700), m=2595lg(1+f/700),
f = 700 ( 1 0 2595 m − 1 ) . f=700(10^{\frac{2595}{m}} −1). f=700(10m2595−1).
4.1 Mel 滤波器中等间隔的Mel 频率:
求出 Mel 滤波器中，对应的等间隔的Mel频率：
假如有10个Mel滤波器
（在实际应用中通常一组Mel滤波器组有26个滤波器。）
首先要选择一个最高频率和最低频率，通常最高频率为8000Hz，最低频率为300Hz。
使用从频率转换为Mel频率的公式将300Hz转换为401.25Mels，8000Hz转换为2834.99Mels，
由于有10个滤波器，每个滤波器针对两个频率的样点，样点之间会进行重叠处理，因此需要12个点，意味着需要在401.25和2834.99之间再线性间隔出10个附加点，如：
m(i)=401.25,622.50,843.75,1065.00,1286.25,1507.50,1728.74,1949.99,2171.24,2392.49,2613.74,2834.99
4.2 Mel 频率转换为 HZ：
现在使用从Mel频率转换为频率的公式将它们转换回赫兹：
def hz2mel(hz):
'''把频率hz转化为梅尔频率'''
return 2595 * numpy.log10(1 + hz / 700.0)
def mel2hz(mel):
'''把梅尔频率转化为hz'''
return 700 * (10 ** (mel / 2595.0) - 1)
h(i)=300,517.33,781.90,1103.97,1496.04,1973.32,2554.33,3261.62,4122.63,5170.76,6446.70,8000
4.3 Mel 滤波器中心频率
将频率映射到最接近的DFT频率
其中 257 = N ， N取值为 DFT 长度中的有效保留值，
此时得到的 f(i), 便是 Mel 滤波器组中 各个滤波器的中心频率；
- Mel 滤波器的频率响应
在得到各个滤波器的中心频率后， 便可知 各个滤波器对应的频率响应；
将功率谱形成的语谱图通过 Mel 滤波器组，便得到 Mel Spectrogram;
5. librosa 库的实现原理是：
如下图，函数输入为（frequencies，htk）frequencies为待转化的频率，htk为是否用HTK formula进行转化，默认htk=False。
官方文档是这么解释的：htk，bool，
-
If True, use HTK formula to convert Hz to mel.
-
Otherwise (False), use Slaney’s Auditory Toolbox.
那么这里的Slaney’s Auditory Toolbox是怎么计算mel频率的呢？
根据代码来看是这样：
-
对于小于1000Hz的频率，进行线性转化， m = 3 f 200 m=\frac{3f}{200} m=2003f
-
对于大于（等于）1000Hz的频率，对数转化， m = 15 + l n f 1000 l n 6.4 27 m=15+\frac{ln\frac{f}{1000}}{\frac{ln6.4}{27}} m=15+27ln6.4ln1000f，
其中， 15是因为15 = 3 ∗ 1000 200 \frac{3*1000}{200} 2003∗1000，
至于6.4和27怎么来的我也不太清楚……
// An highlighted block
def hz_to_mel(frequencies, htk=False):
"""Convert Hz to Mels
Examples
--------
>>> librosa.hz_to_mel(60)
0.9
>>> librosa.hz_to_mel([110, 220, 440])
array([ 1.65, 3.3 , 6.6 ])
Parameters
----------
frequencies : number or np.ndarray [shape=(n,)] , float
scalar or array of frequencies
htk : bool
use HTK formula instead of Slaney
Returns
-------
mels : number or np.ndarray [shape=(n,)]
input frequencies in Mels
See Also
--------
mel_to_hz
"""
frequencies = np.asanyarray(frequencies)
if htk:
return 2595.0 * np.log10(1.0 + frequencies / 700.0)
# Fill in the linear part
f_min = 0.0
f_sp = 200.0 / 3
mels = (frequencies - f_min) / f_sp
# Fill in the log-scale part
min_log_hz = 1000.0 # beginning of log region (Hz)
min_log_mel = (min_log_hz - f_min) / f_sp # same (Mels)
logstep = np.log(6.4) / 27.0 # step size for log region
if frequencies.ndim:
# If we have array data, vectorize
log_t = frequencies >= min_log_hz
mels[log_t] = min_log_mel + np.log(frequencies[log_t] / min_log_hz) / logstep
elif frequencies >= min_log_hz:
# If we have scalar data, heck directly
mels = min_log_mel + np.log(frequencies / min_log_hz) / logstep
return mels