绝对值 (abs.pas/c/cpp)
问题描述
给定一个数 x,求正整数 y≥2,使得满足以下条件:
1.y-x 的绝对值最小;
2.y 的质因数分解式中每个质因数均恰好出现 2 次。
输入数据
第一行输入一个整数 T(1≤T≤50)
每组数据有一行,一个整数 x(1≤x≤10^18)
输出数据
对于每组数据,输出一行 y-x 的最小绝对值。
输入样例
5
1112
4290
8716
9957
9095
输出样例 1
23
65
67
244
70
数据范围
对于 20% 的数据, T = 1, x ⩽ 10^4
对于 50% 的数据, T ⩽ 10, x ⩽ 10^12
对于 70% 的数据, T ⩽ 30, x ⩽ 10^15
对于 100% 的数据, T ⩽ 50, x ⩽ 10^18
题目来源
HDU5778
题解
- 首先先分析题目,每个数的质因子恰好只出现两次,则说明这一个数是完全平方数并且是 质数x质数 或者 多个质数相乘的平方
- 这样一道题第一眼看数据非常大,根据上面的第一步推论编者也想了一个办法……利用素数来筛选由于是完全平方数,则只要考虑 即可,接着就想进行了欧拉素数筛。然而很不幸的事情发生了。10^18次开根即10^9也要十秒钟来筛…这个算法果断放弃。
- 后来仔细想了想,对于由第一步推论可进一步得出,找到最近的质数乘积只需要前后进行搜索,再进行比较即可(看上去很大的数据量其实只要用long long就可以解决,时间复杂度也比之前要低很多)。
- 进行是否合法的质数乘积只需要对于单个质数进行分解(类似于最基础的判断是否为素数),n的质因数每个只出现两次,那么 的质因数都只出现一次,那么 就无法整除任意一个数的平方。
- 这个算法的复杂度是O( ),比最之前的算法效率高的很多。
上面说的有点绕,直接贴代码来看吧。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
void ff(){
freopen("abs.in","r",stdin);
freopen("abs.out","w",stdout);
}
int T,t=0;
bool check(long long z){
int root=sqrt(z);
for (int i=2;i<=root;i++){
if(z%(i*i)==0) return false;
}
return true;
}
long long search(long long n){
long long tt=sqrt(n);
long long l=tt,r=tt+1,z=0;
while(true){
if(n-l*l>r*r-n){//每次找到最近的数
z=r;
}else{
z=l;
}
if(check(z)){//判断是否合法
break;
}else if(z==l){//进行左右拓展
l-=1;
}else{
r++;
}
}
return (z*z-n);
}
int main(){
ff();
scanf("%d",&T);
for (int i=1;i<=T;i++){
long long x;
scanf("%lld",&x);
printf("%lld\n",abs(search(x)));
}
}