RSA算法简介

一、 RSA算法简述

在RSA密码体制中，每个用户都拥有两个密钥：公钥PK={e,n}和私钥SK={d,n}。公钥PK={e,n}用于加密，也成为加密密钥，可以再网络、电话簿等媒体上进行公布。私钥SK={d,n}用于解密，也称为解密密钥，必须保密。每个用户把加密密钥PK公开，使得系统中任何其他用户都可以使用，而对解密密钥SK中的d必须严格保密。

二、密钥生成

1、选取两个保密的大素数p和q。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
2、计算n=p*q。n称为RSA算法的模数。
3、φ(n) = (p-1)(q-1)，其中φ(n)是n的欧拉函数值。
4、选取一个随机整数e(即加密密钥)，使之满足1< e < φ(n),随机选择一个整数e，且e与φ(n) 互质。
5、计算解密密钥d，满足e*d ≡ 1 (mod φ(n))。
即e对于φ(n)的模反元素d。
所谓”模反元素”就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
这个式子等价于
　　e*d - 1 = kφ(n)
于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
　　ex + φ(n)y = 1
这个方程可以用”扩展欧几里得算法”求解,因为e与φ(n)互素，由模运算可知他的乘法逆元一定存在。

三、可靠性

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：

　　p
　　q
　　n
　　φ(n)
　　e
　　d
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。

那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？

　　（1）e*d≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
　　（3）n=p*q。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
　　“对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。”

四、加密

加密要用公钥 (n,e)

假设将发送的明文进行比特串分组，其中一个明文组为m，对m进行加密，设c为分组谢谢m加密后的密文，加密算法为：

　　 m^e ≡ c (mod n)

即
　　 m^e-kn=c
　　
假设公钥是 (3233, 17)，m假设是65，那么可以算出下面的等式：

　　6517 ≡ 2790 (mod 3233)

五、解密

解密要用私钥(n,d)

解密算法为：
　　 c^d ≡ m (mod n)
　　

最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：

　　c^d ≡ m (mod n)
因为，根据加密规则
　　ｍ^e ≡ c (mod n)
于是，c可以写成下面的形式：
　　c = m^e - kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则：
　　(m^e - kn)^d ≡ m (mod n)
它等同于求证(带有kn的元素一定可以被n整除所以可以去掉。)
　　m^(e*d) ≡ m (mod n)
由于
　　e*d ≡ 1 (mod φ(n))
所以
　　e*d = hφ(n)+1
将ed代入：
　　m^(hφ(n)+1) ≡ m (mod n)
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
（1）m与n互质。
根据欧拉定理，此时
　　m^φ(n) ≡ 1 (mod n)
得到
　　(m^φ(n))^h × m ≡ m (mod n)
原式得到证明。
（2）m与n不是互质关系。
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：
　　(kp)^(q-1) ≡ 1 (mod q)
进一步得到
　　[(kp)^(q-1)]^h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)
即
　　(kp)^(e*d) ≡ kp (mod q)
将它改写成下面的等式
　　(kp)^(e*d) = tq + kp
这时t必然能被p整除，即 t=t’p
　　(kp)^(e*d)= t’pq + kp
因为 m=kp，n=pq，所以
　　m^(e*d) ≡ m (mod n)
原式得到证明。

六、例子

将明文 05,09加密解密公钥为PK={3,33},由于n比较小，我们可以直接算出私钥。
33=11*3
φ(n)=10*2=20
私钥d=(20+1)/3=7
加密
5^3=c1 mod33
c1=26
9^3=c2 mod33
c2=3
解密
26^7=m1 mod33
m1=5
3^7=m2 mod33
m2=9

参考网页：
[1] http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html?20151007165925
[2]https://blog.csdn.net/lisheng19870305/article/details/41576803