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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。
爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n
阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1
或 2
个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
示例 1:
输入:n = 2
输出:2
解释:有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
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示例 2:
输入:n = 3
输出:3
解释:有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
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暴力法
我们可以把所有可能爬的阶数进行组合,直接递归求解。
如上图,暴力求解会有很多重复的分支,时间复杂度必然很高。
动态规划:
因为每次可以爬 1 或 2 个台阶,所以到第n阶台阶可以从第n-2或n-1上来。
用f[n]表示爬n阶有几种方法,那么f[n]=f[n-1]+f[n-2];
考虑两种特殊情况
- 当n=1时f(1)=1,即只有一种走法。
- 当n=2时f(2)=2,即有两种走法: 1 阶 + 1 阶或者2 阶
实现
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n==1){
return 1;
}else if (n==2){
return 2;
}else{
int[] dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
dp[2]=2;
for (int i=3;i<=n;++i) {
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}
}
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复杂度分析:
- 时间复杂度
O(n)
:需要循环一遍才能计算出f(n)。 - 空间复杂度
O(n)
:使用了dp数组记录n阶时候的走法。但是由于在本题目中f(n)只是与前面两项f(n-1)和f(n-2)相关,所以可以直接使用两个变量记录即可,空间复杂度可以降为O(1)
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
int p1 = 0, p2 = 0, current = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
p1 = p2;
p2 = current;
current = p1 + p2;
}
return current;
}
};
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- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(1)