线性方程组解的分析：唯一解，无穷多解以及无解

本文将总结关于线性方程组解的知识点。

线性方程组

定义1 线性方程组：我们将形如下式的方程组称为线性方程组。

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \begin{aligned} &a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1\\ &a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ &\dots\\ &a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m\\ \end{aligned} \end{equation}$

其中，矩阵

\begin{matrix} (10) & A = (\begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{array}) \end{matrix}

$\begin{equation} A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} &\dots & a_{mn}\\ \end{array} \right) \end{equation}$ 称为该线性方程组的系数矩阵，而所有满足这个方程组的

X = (x_{1}, \dots, x_{n})

$X = (x_1, \dots, x_n)$ 的集合称为它的解集合。

定义2 增广矩阵：上面线性方程组的系数矩阵如果加上右侧的 $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ 就构成了该方程组的增广矩阵，记为 $\bar{A}$ 。

\begin{matrix} (11) & A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} & b_{n} \end{array}) \end{matrix}

$\begin{equation} A = \left( \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1\\ \vdots & \ddots & & \vdots\\ a_{m1} &\dots & a_{mn} & b_n\\ \end{array} \right) \end{equation}$

消元法解线性方程组

消元法是最常用的解线性方程组的方法，他的核心在于对增广矩阵进行初等变换（即数乘，倍加和对调），使得增广矩阵变为阶梯型。具体做法大家应该都知道，我略了。

线性方程组有解无解的判定

将增广矩阵变为阶梯型后，我们就可以通过观察这个阶梯型矩阵判断方程组有无解。具体的做法是看增广矩阵左侧的系数矩阵，如果他的秩和增广矩阵的秩是相等的，则该方程组有解，否则无解。

定理1 方程组有无解的判定：线性方程组有解的充要条件是 $r(A) = r(\bar{A})$ .

线性方程组解的结构

上面是判断有无解的方法，下面更进一步，在有解的情况下，又要分两种情况讨论了：即有唯一解和有无穷解。所以有必要了解线性方程组解的结构。简单起见，我们先研究齐次线性方程组。

1. 齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组说的是方程组右侧的向量 $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ 都是0时的方程组。那么显然，齐次线性方程组的秩与其系数矩阵的秩肯定是相等的，也就是说它肯定有解。这个也好理解，零向量肯定是他的解嘛。关键问题在于，它什么时候会有非零解。

定理2 齐次线性方程组有非零解的条件：齐次线性方程组有非零解的充要条件： $r(A) < n$ .

齐次线性方程组还有两个非常重要的性质（证明很容易，自己想想就能知道）：

两个解的和还是方程组的解
一个解的倍数还是方程组的解

上面两个性质综合起来，就是说，对于齐次线性方程组，任意解的线性组合还是解。既然如此，我们研究这么多解那就是毫无意义的，只需要关注那些线性无关的解即可。我们把一个齐次线性方程组的所有线性无关的解称为这个方程组的基础解系。

定义3 基础解系：齐次线性方程组的一组解 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_t$ 是它的基础解系，如果满足下列两个条件：

该齐次线性方程组的任何一个解都能表示成 $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_t$ 的线性组合；
$\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_t$ 线性无关；

值得一提的是齐次线性方程组的基础解系的个数是 $n - r(A)$ . 这样，就了解了齐次线性方程组的结构：任意解都是它的基础解系的线性组合。

2. 非齐次线性方程组解的结构

现在升级一下，看非齐次方程组的解的结构。对于非齐次的方程组，我们把它右侧的 $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ 改成0，就变成齐次了，那么这个齐次方程组也被称为这个非齐次线性方程组的导出组。而非齐次方程组和它的导出组之间是有密切联系的。具体地说，有以下两点：

非齐次线性方程组任意两个解的差是它的导出组的解；
非齐次线性方程组的任意解与它的导出组的和还是该非齐次线性方程组的解；

既然有这两条性质，我们就不难推出非齐次线性方程组解的结构了。

定理3 非齐次线性方程组的解：假设 $\gamma_0$ 是非齐次线性方程组的一个特解（你就理解成一个解就行），那么该非齐次线性方程组的任意一个解都可以表示成：

\begin{matrix} (12) & γ = γ_{0} + k_{1} η_{1} + k_{2} η_{2} + \dots + k_{n} η_{n} \end{matrix}

$\begin{equation} \gamma = \gamma_0 + k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \dots + k_n \eta_n \end{equation}$
后面的

k_{1} η_{1} + k_{2} η_{2} + \dots + k_{n} η_{n}

$k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \dots + k_n \eta_n$ 是导出组基础解系的线性组合。

根据定理3，我们也就不难推出非齐次线性方程组有唯一解的条件：即它的导出组只有零解。

结论

好了，最后总结一下线性方程组的解的各种情况：

任何线性方程组，只要满足 $r(A) = r(\bar{A})$ ，则一定有解；否则一定无解（这是判断有无解的唯一标准）。
对于齐次线性方程组，如果 $r(A) < n$ ，则它有非零解，且线性无关的非零解的个数为 $n - r(A)$ ；否则只有零解。
对于非齐次线性方程组，如果它的导出组有非零解（ $r(A) < n$ ），则它有无穷多解，每个解都是特解和导出组基础解系的线性组合；如果它的导出组只有零解，则它有唯一解。