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求傅立叶变换后的冲激信号与模拟信号傅立叶变换后的频谱 卷积后的结果。
采样数学表示：
1.时域表示：
定义：
采样的过程可以理解成模拟信号和一个周期冲激函数的一个点乘过程
公式如下：
2.频域表示：
时域与频域关系：
时域上的卷积等于频域上的乘积，反过来也成立，在频域上的卷积也等于在时域上的乘积。
在时域上进行采样（乘）后，自然而然的在频域上带来了周期延拓，反过来也成立，频域上采样会导致在时域上周期延拓。
公式：
如下公式，采样后的信号与采样前信号是一种周期延拓的关系，周期是欧米伽s，是采样的角频率，与采样周期有关 ，如图是延拓后相邻两个信号的周期； 1/T是幅度衰减因子。
下图横轴是频率，纵轴是幅度。
如上图，当在时域上进行采样时会自然的在频域上发生如上图变化。假设最大的三角形的两边是原始采样图形。 采样后一方面幅度由于是1/T幅度会减小，另一方面会在频率轴上发生周期延拓。 延拓周期就是采样频率，欧米伽s。 所以只要采样频率大于信号最高频率，没有发生混叠，就是恢复原始模拟信号。
证明上述表达式：
第一步：
求周期冲激信号经过傅立叶变换后的函数。
第二步：
求傅立叶变换后的冲激信号与模拟信号傅立叶变换后的频谱 卷积后的结果。
第一步：
求周期冲激信号经过傅立叶变换后的函数。
如下图；
1.应用傅立叶级数，对于任何一个周期信号，总可以写成一个由无数多个傅立叶级数求和得来 。
2.系数Ak对应离散频率，k * 欧米伽s，表示在第k个频率分量上占的比重。
3.系数Ak也同时可以由内积表达式表示。 内积是由周期函数乘标准内交积函数(幅指数)在 T/2到-T/2之间积分。 在T/2到-T/2之间，周期响应函数 即为 德尔塔(t)。 Ak= 的式子与上面的式子是傅立叶变换正反变换的表达式。
4.由于，在T/2到-T/2，之间t只有等于0时，值为1，其他时候为0，所以有效值时t=0。所以系数Ak=1/T。
5.周期性的冲激函数序列傅立叶变换后仍然是一个周期性序列，周期由T变成了欧米伽s。
第二步：
周期冲激信号与模拟信号进行卷积
问题：上述图片中 两个信号的卷积是怎么做的？
即采样频率大于信号最高频率的2倍。
采样后频谱发生了周期性延拓，需要满足什么条件才能复原信号？
答：只要经过延拓后频谱的频谱分量与原始频谱分量无交叠，则可以恢复原信号。 在离散信号上加一个理想的低通滤波器抽取出原始模拟信号，抽取后乘上大T即恢复成功。 为了满足上述延拓后的频谱分量与原始频谱分量无交叠，则需要 采样的欧米伽s >=2 欧米伽h。 即采样频率大于信号最高频率的2倍。
奈奎斯特采样定理
抽取之前一定要加一个防混叠滤波器，不能无脑降采样，是由于奈奎斯特采样定理的原因。
空间采样定理
半波长理论（空间域上的采样定理）
采样定理扩展到其他领域是类似的。
在空间采样阵列信号处理中，表示由于最高频率和波长是倒数关系，所以最高频率，往往用最小波长表示。