为了应对疫情，全球各国都需要检测潜在感染者。由于检测试剂相对短缺，如何用尽量少的试剂进行检测就成为一个有意思的问题。这里假设采样量足够，且不考虑检测时间要求。
目前，很多国家采用的都是分组检测机制，即将待检测群体进行分组，同组内样本混合进行检测。如果某组结果为阳性，则对该组再进一步进行检测。
一个很自然的问题：该怎么分组才能节约试剂？
先来看两种极端的情况。
少量感染者
通常，群体内的感染者是少数。
假设群体一共 64 人，其中只有 1 个感染者，采用 2、4、8、64 等分法。
- 2 分法，要测 6 轮，共 2*6=12 次；
- 4 分法，要测 3 轮，共 4*3=12 次；
- 8 分法，要测 2 轮，共 8*2=16 次；
- 64 分法，要测 1 轮，共 64 次。
实际上，当人数很多时候，如 N 个人，采用 x 分法，其总测试次数大概为 y=x*log(x, N)，容易知道该函数在 x=e 时取极小值。
此时应当取 e 附近的 x 值，例如 2 或 3，可以节约试剂。同时，人数 N 最好选为能整除 x 的值。
大量感染者
第二种场景，64 个人全部都是感染者，同样采用 2、4、8、64 等分法。
- 2 分法，要测 6 轮，共 2+4+8+16+32+64 = 126 次；
- 4 分法，要测 3 轮，共 4+16+32+64=116 次；
- 8 分法，要测 2 轮，共 8+64=72 次。
- 64 分法，要测 1 轮，共 64 次。
容易发现，此时当采用 64 分法时候，总检测数最少。
N 个人，采用 x 分法，其总测试次数大概为 S=x*\frac{1-x^log(x,N)}{1-x}，显然是递减函数。
此时应当取较大的分组数。
推广为一般情况
如果已知 N 个人，感染率为 p，此时 x 该选多少？
这个问题要比上面两种情况复杂一些，我们采用倒推的思路。
首先绘制检测路线，是个典型的树状结构，如下图所示。
其中有 p*N 个人是感染者（最坏情况下他们没有共同的父节点），那么最后一轮时，需要检测 p*N*x 次。倒推上一层，仍然需要检测 pNx 次。直到最后待检测的样本拥有共同的父节点，从这层开始，每层都需要检测 x 次。
即 p*N*x + p*N*x + …… x + x + ……。
最坏情况下，感染样本彼此尽量分开，直到第二层，所有待检测的样本拥有共同的父节点。此时，检测总数为 S=p*N*x*(log(x, N)-1)+x。此时求得最优的 x 值在 3 左右。
通常情况下，感染率 p 不高的时候，这个公式是准确的；当 p 较高时候，由于底层多个感染者有共同的父节点，公式推测出的检测总数比实际值要高。因此，共识得到的是所需试剂个数的上限。
应用到现实生活
假设某市常驻人口 N=20000000（两千万），感染率 p=0.0001（万分之一），则套入公式得到
S=2000*x*(log(x,20000000)-1)+x，易求得当 x=2.91(可取整为 3)时，取得 S 最小值为 85782，检测轮数为 16 轮。
因此，如果采用最优检测算法，该市所使用的试剂数仅占整体待测人口的 0.43%，从而可以节约大量试剂。带来的成本是需要多轮检测。
实践中，可以采取只对前若干轮进行分组的做法，取得优化试剂数和检测时间之间的均衡。比如给定时间内必须要完成检测，此时可以调整各层的检测分组数。
ps，有趣的是，无论 p 取什么值，最后求得的最优的 x 都不会超过 4。
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