首先,我们区分一个概念:一个函数n阶可导,那么它可以用n-1洛必达,说明到n-1阶的导函数连续;那么,什么时候可以用n次洛必达呢?
答:当n阶导函数连续的时候
正经的分割线
下面,我们来看看这道题:
设 f ( x ) 二 阶 可 导 , f ( 0 ) = 0 , 令 g ( x ) = { f ( x ) x x ≠ 0 f ( 0 ) ′ x = 0 设f(x)二阶可导,f(0)=0,令g(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{f(x)}{x} \quad x\neq 0\\f(0)'\quad x = 0 \end{matrix}\right. 设f(x)二阶可导,f(0)=0,令g(x)={
xf(x)x=0f(0)′x=0
( 1 ) 求 g ( x ) ′ ; ( 2 ) 讨 论 g ( x ) ′ 在 x = 0 处 连 续 性 (1)求g(x)';(2)讨论g(x)'在x=0处连续性 (1)求g(x)′;(2)讨论g(x)′在x=0处连续性
我当时做的时候乍一看,题干中二阶可导,说明 f ( x ) f(x) f(x)可以求两次导,对于 g ( x ) ′ g(x)' g(x)′来说,直接对 f ( 0 ) ′ f(0)' f(0)′再次求导, f ( 0 ) ′ f(0)' f(0)′为常数再次求导为0不就完事儿了吗?立即推,这题真简单!
凉凉的分割线
哦豁,凉凉!怎么又凉了呢?不是说好二阶可导的吗!
嘿嘿,二阶可导, f ( x ) f(x) f(x)肯定是二阶可导啊,但是我们现在是求的 g ( x ) ′ g(x)' g(x)′,如果没有判断 g ( x ) g(x) g(x)的连续性、可导性就直接求导,那结果很可能就是错的!所以,对于这种题,千万不要轻视它,认为它简单,其实它是在麻痹你!我们一定要抓住连续与导数的关系及其性质!
首先判断连续性
lim x → 0 g ( x ) = lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = f ( 0 ) ′ = g ( 0 ) \lim\limits_{x \to 0}g(x)=\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f(0)'=g(0) x→0limg(x)=x→0limx−0f(x)−f(0)=f(0)′=g(0)
故 g ( x ) g(x) g(x)在 x = 0 x=0 x=0处连续
其次判断可导性
当 x ≠ 0 x \neq0 x=0 时, g ( x ) ′ = ( f ( x ) x ) ′ = x f ( x ) ′ − f ( x ) x 2 g(x)'=(\frac{f(x)}{x})'=\frac{xf(x)'-f(x)}{x^2} g(x)′=(xf(x))′=x2xf(x)′−f(x)
当 x = 0 x=0 x=0 时, g ( x ) = lim x → 0 g ( x ) − g ( 0 ) x − 0 = lim x → 0 f ( x ) x − f ( 0 ) ′ x − 0 = 1 2 lim x → 0 f ( x ) ′ − f ( 0 ) ′ x ( 洛 ) = 1 2 f ( 0 ) ′ ′ g(x)=\lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim\limits_{x \to 0}\frac{\frac{f(x)}{x}-f(0)'}{x-0}=\frac{1}{2}\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)'-f(0)'}{x}(洛)=\frac{1}{2}f(0)'' g(x)=x→0limx−0g(x)−g(0)=x→0limx−0xf(x)−f(0)′=21x→0limxf(x)′−f(0)′(洛)=21f(0)′′
知道判断应该先判断连续性和可导性之后,做题肯定不成问题了,所以后面不再叙述。
By the way:由于wordpress还没时间去搭建,所以暂时用csdn记录考研数学的一些东西。希望能遇到志同道合的朋友一起交流考研!
路漫漫其修远兮,吾将上下而求索!