RSA算法：

有个文章关于RSA原理讲的不错：

https://blog.csdn.net/dbs1215/article/details/48953589

http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html

RSA 相关名词

RSA代表的是一种算法

PKCS 代表的这种算法的一系列标准

原始算法定义：

RSA的算法涉及三个参数，n、e1、e2。其中，n是两个大质数p、q的积，n的二进制表示时所占用的位数，就是所谓的密钥长度。e1和e2是一对相关的值，e1可以任意取，

要求e1与(p-1）*(q-1）互质；

再选择e2，要求（e2*e1）mod((p-1）*(q-1））=1。

    （n，e1）,(n，e2）就是密钥对。其中(n，e1）为公钥，(n，e2）为私钥。

    RSA加解密的算法完全相同，设A为明文，B为密文，则：

    A=B^e2 mod n；

    B=A^e1 mod n；

公钥加密体制中，一般用公钥加密，私钥解密

e1和e2可以互换使用，即：

    A=B^e1 mod n；

    B=A^e2 mod n;

具体实用产生密文过程：

对于非数学，或者不需要做加密解密等工作的人，我觉得了解下面这些就够了：

公钥     （E，N）
私钥     （D，N）
密钥对     （E，D，N）
加密     密文＝明文EmodN
解密     明文＝密文DmodN

计算过程：

求N     N＝ p ＊ q ；p，q为质数
求L     L＝lcm（p－1，q－1） ；L为p－1、q－1的最小公倍数
求E     1 < E < L，gcd（E，L）=1；E，L最大公约数为1（E和L互质）
求D     1 < D < L，E＊D mod L ＝ 1

具体名词：

1. 密钥长度：

n的二进制表示时所占用的位数，就是所谓的密钥长度。

RSA 算法中的密钥长度是非常长的，介于 512 - 65536 之间（JDK 中默认长度是1024），但是必须是64 的倍数。

密钥：

密钥的存储结构：

密钥的存储结构有很多，现在先用pem的PKCS#1为例说明：

在PKCS#1 RSA算法标准中定义RSA私钥语法为：

 RSAPrivateKey ::= SEQUENCE {

version Version,

modulus INTEGER, -- n

publicExponent INTEGER, -- e

privateExponent INTEGER, -- d

prime1 INTEGER, -- p

prime2 INTEGER, -- q

exponent1 INTEGER, -- d mod (p-1)

exponent2 INTEGER, -- d mod (q-1)

coefficient INTEGER, -- (inverse of q) mod p

otherPrimeInfos OtherPrimeInfos OPTIONAL

}

类型RSAPrivateKey 的各域具有以下意义：

• version 是版本号，为了与本文档的今后版本兼容。本篇文档的这个版本号应该是0，如果使用了多素数，则版本号应该是1。

Version ::= INTEGER { two-prime(0), multi(1) }

(CONSTRAINED BY {-- version must be multi if otherPrimeInfos present --})

• modulus 是RSA合数模n。

• publicExponent 是RSA的公开幂e。

• privateExponent 是RSA的私有幂d。

• prime1 是n的素数因子p。

• prime2 i是n的素数因子q。

• exponent1 等于d mod (p − 1)。

• exponent2 等于d mod (q − 1)。

• coefficient 是CRT系数 q–1 mod p。

• otherPrimeInfos 按顺序包含了其它素数r3, …, ru的信息。如果version是0 ，它应该被忽略；而如果version是1，它应该至少包含OtherPrimeInfo的一个实例。

OtherPrimeInfos ::= SEQUENCE SIZE(1..MAX) OF OtherPrimeInfo

OtherPrimeInfo ::= SEQUENCE {

prime INTEGER, -- ri

exponent INTEGER, -- di

coefficient INTEGER -- ti

}

OtherPrimeInfo的各域具有以下意义：

• prime 是n的一个素数因子ri ，其中i ≥ 3。

• exponent 是di = d mod (ri − 1)。

• coefficient 是CRT系数 ti = (r1 · r2 · … · ri–1)–1 mod ri。

公钥语法为：

RSAPublicKey ::= SEQUENCE {

modulus INTEGER, -- n

publicExponent INTEGER -- e

}

类型RSAPublicKey的域具有以下意义：

• modulus 是RSA的合数模n。

• publicExponent 是RSA公开幂e。

pem 就是将以上数据结构用TLV格式组装成文件，存储起来。

公用文件实例：

1. 假设文件内容如下：

1.modulus:
AB602562101207D05A6C413E24CE42699210388F5D31D28151E0FA9141D9C8F8
AC716C0C4F449616AA2270F1007CF3BA46F05131E402266B2A628F4B70142429
93F5BC06E3C0609F9E52BE8D5D0CFACF53C2EE98533A9818828EC5CB8120A688
ADC603DBE65DF9059AD8039644897896943912D81C76856AB7E380C1530C6DE0
E155D4C9FB943967C52EB147CDBF2464AC2B631055DBE3109491A067567AE515
FD36428930FABCAC7C0FEB906C11815B6F00462E588DEB81C4364E2B62540E92
69F49487CC4F8724DDC481C5134B86108C9FACD5D7187706ACA2D3425BFE4F11
9C254273FA5C91EEA5EB06154936D27EE62266CDCAE9E34D20229360559325C7

2.publicExponent:
00000003

2。

组装PEM文件

1.按照以上数据域顺序依次组装成TLV。
①modulus组装
0282010100
AB602562101207D05A6C413E24CE42699210388F5D31D28151E0FA9141D9C8F8
AC716C0C4F449616AA2270F1007CF3BA46F05131E402266B2A628F4B70142429
93F5BC06E3C0609F9E52BE8D5D0CFACF53C2EE98533A9818828EC5CB8120A688
ADC603DBE65DF9059AD8039644897896943912D81C76856AB7E380C1530C6DE0
E155D4C9FB943967C52EB147CDBF2464AC2B631055DBE3109491A067567AE515
FD36428930FABCAC7C0FEB906C11815B6F00462E588DEB81C4364E2B62540E92
69F49487CC4F8724DDC481C5134B86108C9FACD5D7187706ACA2D3425BFE4F11
9C254273FA5C91EEA5EB06154936D27EE62266CDCAE9E34D20229360559325C7

说明：
02 - tag  1byte 固定长度 T
82 - 81代表长度用1byte表示，82代表长度用2byte表示 L
0101 - length 2bytes表示 L 跟上面部分共同组成L 长度不固定 见注释
00 - 在modulus数据前添加00。 见注释

modules 正常应该是base64存储

②publicExponent组装：
020103

说明：
02 - tag T
01 - length L
03 - 00000003 在公钥组装中，舍弃0x00；私钥组装中，保留0x00 V

2.输出PEM文件
①公钥PEM文件头，嵌套多层TLV，本实例文件头为：
30820120 300d06092a864886f70d0101010500 0382010d 0030820108

说明：
30820120 文件总的说明 标签头
30 - tag
82 - 代表length由2bytes表示
0120 - length （2bytes） 代表本文件有288个byte

30 0d 06092a864886f70d0101010500 这13个字节代表的含义，后续再研究
30 - tag
0d - length
06092a864886f70d0101010500 - value

03 82 010d 00。269个字节，组装的整体的实际内容：module和publicExponent
03 - tag
82 - 代表length由2bytes表示
010d - value (2bytes)，代表长度

00 - 补0x00，

3082 0108  组装的整体的实际内容：module和publicExponent
30 - tag
82 - 代表length由2bytes表示
0108 - value（2bytes），代表长度。

②依次输出以上组装后的数据到PEM文件。

至此，PEM文件已生成。

注：

长度确定方式 ，也就是L的编码：

编码长度，一种是只用一个字节表示长度，其最高位为0，后7位表示长度值，显然这样只能表示0-127。另一种是第一个字节的最高位为1，其他位表示后面还有多少个字节属于Length octets（>=0x80）。后面的那些字节组成的就是长度值。长度值表示的是Contents octets所占的字节数。DER要求如果长度为0-127则要使用第一种方式，如果大于127则使用后一种方式。

1）上述TLV结构中：

V值长度<0x80，L表示数据的长度；

V值长度>=0x80的时候，L为0x8X，X表示的L长度要占用的字节数，X个字节用来表示V的长度。

2）RSA公钥N的第一个字节如果大于0x80，则需要在公钥值前面补00，这是因为modulus 为一个大整数，最高位为符号位，其为1时，就是负数，所以要在最高位填充0x00以保证不为负。所以公钥TLV应该是：02 81 81 00 [128字节个公钥值]。

3）RSA私钥的N,d,p,q,Dp,Dq,Mp也需要考虑（2）中的第一个字节如果大于0x80的情况。

4）

TLV一种可变格式，TLV的意思就是：Type类型， Lenght长度，Value值；

Type和Length的长度固定，一般那是2、4个字节；

Value的长度有Length指定；