整数划分
题目描述:
一个正整数n可以表示成若干个正整数之和,如: n = n 1 + n 2 + n 3 + . . . + n k n = n_1 + n_2 + n_3+...+n_k n=n1+n2+n3+...+nk 其中 n 1 ≥ n 2 ≥ . . . ≥ n k n_1≥n_2≥...≥n_k n1≥n2≥...≥nk,问n存在多少种不同的划分方式
思路:
动态规划的计数问题
由于一个数字可以用很多次,所以我们可以把这个问题看成一个完全背包问题
d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]表示前i个数字构成数字和为j的划分方式的数量
状态转移为:
d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + d p [ i − 1 ] [ j − i ] + d p [ i − 1 ] [ j − 2 ∗ i ] + . . . + d p [ i − 1 ] [ j − k ∗ i ] dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-i] + dp[i-1][j-2*i] + ... + dp[i-1][j-k*i] dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i−1][j−i]+dp[i−1][j−2∗i]+...+dp[i−1][j−k∗i]
直接暴力进行转移就行,复杂度是 O ( n 2 l o g n ) O(n^2log_n) O(n2logn)
考虑进行优化:
由于 d p [ i ] [ j − i ] = d p [ i − 1 ] [ j − i ] + d p [ i − 1 ] [ j − 2 ∗ i ] + . . . + d p [ i ] [ j − k ∗ i ] dp[i][j-i] = dp[i-1][j-i] + dp[i-1][j - 2*i] + ... + dp[i][j-k*i] dp[i][j−i]=dp[i−1][j−i]+dp[i−1][j−2∗i]+...+dp[i][j−k∗i]
可以发现, d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − i ] dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-i] dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−i]
还可以再进一步压缩空间,即用完全背包的方法来优化掉第一维
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define io ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
#define m_p(a, b) make_pair(a, b)
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
#define MAX 100005
#define mod 1000000007
int n, m, x, k, y, r;
int tr[MAX];
ll dp[1005];
void work(){
cin >> n;
dp[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i){
for(int j = 1; j <= n; ++j){
(dp[j] += dp[j - i])%=mod;
}
}
cout << dp[n] << endl;
}
int main(){
io;
work();
return 0;
}
康复训练的第好几天,本来dp就不怎么会,半年不写题,全忘了,md