1. 给定upbound的Christofides方法
这是可以给出上界的一个方法,可以证明构造出的路线不超过最优路线的1.5倍。步骤为:
1)构造MST(最小生成树)
2)将里面的奇点连接起来构成欧拉回路称为完美匹配。Edmonds给出了多项式时间内构造最小代价完美匹配的方法,其长度不超过最优解的1.5倍。
证明方法也很直观,奇点最短路径可以拆分成两条完美匹配,其中总有一条的长度 ≤ \le ≤最优奇点路径长度/2 ≤ \le ≤最优完整路径长度/2
3)按欧拉回路顺序逐个扫描点,跳过重复经过的点,即可构造一条完整的路径。
下面是blossom算法的使用示例:
using BlossomV,TravelingSalesmanHeuristics,TSPLIB,Distances,DataStructures
tsp = readTSP("vlsi/bcl380.tsp"); # bays29
N = tsp.dimension
distmat = [euclidean(tsp.nodes[i,:],tsp.nodes[j,:]) for i in 1:N, j in 1:N]
mst = TravelingSalesmanHeuristics.minspantree(distmat)[1]
x = counter(cat([m[1] for m in mst],[m[2] for m in mst],dims=1))
odds = []
for xi in x
if xi[2]%2==1
append!(odds,xi[1])
end
end
mat = Matching(Float64, length(odds))
for i in 1:length(odds)
for j in 1:i-1
add_edge(mat,i-1,j-1,distmat[odds[i],odds[j]])
end
end
solve(mat)
using PyPlot
tree = mst
PyPlot.scatter(tsp.nodes[:,1],tsp.nodes[:,2],color="black",s=10)
for i in 1:length(tree)
l = tsp.nodes[[tree[i][1],tree[i][2]],:]
PyPlot.plot(l[:,1], l[:,2], color="black",linewidth = 1)
end
for i in 1:length(odds)
j = get_match(mat,i-1)+1
if j>i
l = tsp.nodes[[odds[i],odds[j]],:]
PyPlot.plot(l[:,1],l[:,2],color="r",linewidth = 0.5,linestyle="--")
end
end
2. 松弛问题
首先看一个例子:
我们定义 x i j x_{ij} xij为边ij是否在路径上。根据TSP问题的要求,每个点只能路过一次,因此每个点连着两条边,有:
3. lazy constraint介绍
3.1 子回路约束
如下图,上面的模型无法避免subtour
为了消除两个子路径的情形,再增添约束条件:
要想完全枚举出所有这样的约束条件很难,在城市数目为10时,不等式数目就达到51043900866个。因此我们常采用行生成(也叫割平面)的方法,从松弛问题开始,每次求解完后,若发现有子路径,则不断增添拆散子路径的约束条件即可。示意如下,其中红色表示0.5,黑色表示1:
也可以使用最大流最小割来确定subtour
如上图,我们随意选定两个点,得到它们之间的最大流,这个值等于最小割。因此,我们计算n-1个最大流,如果得到小于2的值,那么找到对应的最小割加入约束集。
3.2 梳子约束
接下来,为了取整,我们再添加4集合约束:
后面逐步增加个数,称为梳子不等式,每条回路穿过边界的数目至少是3k+1次,其中k是梳齿的数目。
实战中可以使用启发式方法,如下图,对每个红色子图构造梳子约束:
生成梳子的研究可以参考:
Sylvia Boyd/Sally Cockburn/ Danielle Vella
Daniel Espinoza/Marcos Goycoolea
3.3 blossom不等式
可以看作subtour约束的加强版。选取顶点数目为奇数的簇,完美匹配中至少有一条边穿过簇的边界(相对应的,subtour约束的右边是2)。
4. 分枝定界法
如果只用subtour约束,我们可以结合分枝定界算法来处理整数约束条件:
分枝定界的关键是如何快速确定下界,否则膨胀速度会非常快。因此将其与分割法结合起来,得到新的分枝切割法。