1.二叉搜索树
二叉搜索树概念
二叉搜索树又称二叉排序树(Binary Search Tree, BST),它或者是一棵空树,是具有以下性质的二叉树:
若它的左子树不为空,则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
若它的右子树不为空,则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
它的左右子树也分别为二叉搜索树
BST特性,中序遍历都是有序了,上图中序遍历:15 30 33 41 50
2.二叉搜索树操作
1. 二叉搜索树的查找
a、从根开始比较,查找,比根大则往右边走查找,比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次,走到到空,还没找到,这个值不存在。
2. 二叉搜索树的插入
插入的具体过程如下:
a. 树为空,则直接新增节点,赋值给root指针
b. 树不空,按二叉搜索树性质查找插入位置,插入新节点
插入值为9的节点(前提,假设BST中的节点的值域唯一)
确认值为9的节点是否存在
存在:不插入,直接返回
不存在,进行2’
插入节点
构造一个新节点
与parent中的值域比较
小于parent中的值域,插入parent的左侧
大于parent中的值域,插入parent的右侧
3.删除节点
删除节点的各种情况:
只有右孩子(包含叶子节点)
只有左孩子
左右均存在
根据逻辑规则编写代码,并测试
#pragma once
template<class T>
struct BSTNode
{
BSTNode<T>* _left;
BSTNode<T>* _right;
T _data;
BSTNode(const T& data = T())
: _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _data(data)
{}
};
template<class T>
class BSTree
{
typedef BSTNode<T> Node;
public:
BSTree()
: _root(nullptr)
{}
~BSTree()
{
_DestroyBSTree(_root);
}
bool Insert(const T& data)
{
// 空树,直接插入(根节点)
if (nullptr == _root)
{
_root = new Node(data);
return true;
}
// 非空
// 1. 借助cur在BSTree中查找值为data的元素是否存在
// 注意:需要保存cur的parent
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
parent = cur;
if (data == cur->_data)
return false;
else if (data < cur->_data)
cur = cur->_left;
else
cur = cur->_right;
}
// 2. 插入新节点
cur = new Node(data);
if (data < parent->_data)
parent->_left = cur;
else
parent->_right = cur;
return true;
}
Node* Find(const T& data)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (data == cur->_data)
return cur;
else if (data < cur->_data)
cur = cur->_left;
else
cur = cur->_right;
}
return nullptr;
}
void InOrder()
{
cout << "中序遍历:";
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
bool Erase(const T& data)
{
// 空树:直接返回
if (nullptr == _root)
{
return false;
}
// 非空:
// 1. 找值为data的节点
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (data == cur->_data)
break;
else if (data < cur->_data)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
}
// 确认是否找到?
if (nullptr == cur)
return false;
// 2. 删除该节点
// 分情况:
// 1. 只有右孩子 &&叶子节点
// 2. 只有左孩子
// 3. 左右孩子均存在
Node* del = cur;
if (nullptr == cur->_left)
{
// 情况一:只有右孩子 &&叶子节点
if (nullptr == parent)
{
// cur现在就是根节点
_root = cur->_right;
}
else
{
// cur一定不是根节点,说明cur的双亲一定存在
// parent一定不为空
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
}
else if (nullptr == cur->_right)
{
// 情况二:只有左孩子
if (nullptr == parent)
{
// cur现在就是根节点
_root = cur->_left;
}
else
{
// cur一定不是根节点,说明cur的双亲一定存在
// parent一定不为空
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
}
else
{
// 情况三:左右孩子均存在
// cur不能直接删除,需要在其子树中找一个替代节点
// 将情况三变为情况一或者情况二
// 选择在右子树中找替代节点
del = cur->_right;
parent = cur;
// 1. 找cur右子树中最小(左侧)的节点
while (del->_left)
{
parent = del;
del = del->_left;
}
// 2. 使用del中的值域替换cur中的值域
cur->_data = del->_data;
// 3. 删除del,注意:del可能是其双亲的左孩子 || 可能是其双亲的右孩子
if (del == parent->_left)
parent->_left = del->_right;
else
parent->_right = del->_right;
}
delete del;
return true;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root)
{
_InOrder(root->_left);
cout << root->_data << " ";
_InOrder(root->_right);
}
}
void _DestroyBSTree(Node*& root)
{
if (root)
{
_DestroyBSTree(root->_left);
_DestroyBSTree(root->_right);
delete root;
root = nullptr;
}
}
private:
BSTNode<T>* _root;
};
void TestBSTree()
{
BSTree<int> t;
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
for (auto e : a)
{
t.Insert(e);
}
t.InOrder();
if (!t.Find(9))
{
t.Insert(9);
}
t.InOrder();
//t.Erase(4);
//t.InOrder();
//t.Erase(6);
//t.InOrder();
t.Erase(8);
t.InOrder();
}
#include<iostream>
using namespace std;
#include"BinarySearchTree.hpp"
int main()
{
TestBSTree();
return 0;
}
3. 二叉搜索树的应用
1. K模型:K模型即只有key作为关键码,结构中只需要存储Key即可,关键码即为需要搜索到的值。比如:给一个单词word,判断该单词是否拼写正确,具体方式如下:
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key,构建一棵二叉搜索树
在二叉搜索树中检索该单词是否存在,存在则拼写正确,不存在则拼写错误。
2. KV模型:每一个关键码key,都有与之对应的值Value,即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见:比如英汉词典就是英文与中文的对应关系,通过英文可以快速找到与其对应的中文,英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对;再比如统计单词次数,统计成功后,给定单词就可快速找到其出现的次数,单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对
4. 二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找,查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能
对有n个结点的二叉搜索树,若每个元素查找的概率相等,则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数,即结点越深,则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合,如果各关键码插入的次序不同,可能得到不同结构的二叉搜索树:
最优情况下,二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树),其平均比较次数为:$log_2 N$
最差情况下,二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支),其平均比较次数为:$\frac{N}{2}$
问题:如果退化成单支树,二叉搜索树的性能就失去了。
解决办法:AVL树和红黑树
一些练习题:LetCode
1. 二叉树创建字符串。
2. 二叉树的分层遍历1。
3. 二叉树的分层遍历2。
4. 给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先 。
5. 二叉树搜索树转换成排序双向链表。
6. 根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。
7. 根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树。
8. 二叉树的前序遍历,非递归迭代实现 。
9. 二叉树中序遍历 ,非递归迭代实现。
10. 二叉树的后序遍历 ,非递归迭代实现。